Tables et algorithmes (3)

Dans Mathadore 313, nous avons vu que l’apprentissage des tables ne peut précéder celui des techniques de calcul. Nous nous sommes laissés en mentionnant que cela ne signifiait peut-être pas que l’apprentissage des techniques doive précéder celui des tables… De quoi s’interroger une partie de la semaine.

En fait, avant les techniques, avant les tables, il faut bien comprendre le nombre et la numération. Il faut apprendre à jouer avec les nombres. Une technique est essentiellement un jeu avec les nombres. Un jeu qui consiste à transformer les nombres afin de faciliter un calcul donné. C’est une chose dont nous sommes conscients lorsque nous additionnons des fractions. Par exemple l’addition de ½ et 1/3  ne sera effectuée que  lorsque  ces  deux  nombres  auront  été  transformés  en  sixièmes.  
La  soustraction 36 – 19 ne sera effectuée que lorsque 36 sera transformé en 20 + 16. Pour diviser 744 par 3, on transforme 744 en 600 + 120 + 24. Ces multiples de 3 nous permettent de trouver rapidement la réponse (600 ÷ 3) + (120 ÷ 3) + (24 ÷ 3) = 200 + 40 + 8 = 248.

Vous avez rencontré des élèves qui connaissent bien leurs tables lorsque les nombres à additionner ou à multiplier sont les mêmes (7 + 7, 9 + 9 ou 6 × 6, 8 × 8…) ? Vous leur demandez 7 + 7 ou 8 + 8 et les réponses sont correctes et instantanées. Toutefois, confrontés à 7 + 8, ils disent qu’ils ne savent pas. En fait ils n’ont rien compris, ils ont simplement mémorisé les combinaisons qui s’avèrent les plus faciles. L’élève qui comprend ce que 7 + 8 et 7 + 7 signifient et qui sait que 7 + 7 = 14 pense rapidement que 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15.

Vous voulez effectuer 848 × 125, allez-vous utiliser l’algorithme traditionnel :

        848
     ×125
      4240
    1696
    848    
106 000

Vous perdez votre temps !

Observez ces nombres : 125 = 1000 ÷ 8.

Beaucoup plus rapide! Que faites-vous pour 5000 – 1426 ? Remplacer cette soustraction par 4999 – 1425 semble rendre les calculs plus simples. Et 45 × 32 ? Pourquoi pas 90 × 16, qui est plus facile et plus rapide?

Nous venons de jouer avec les nombres. Nous venons de tester et de développer la compréhension du nombre et des opérations.

Activité

Au moins une année avant de demander aux élèves d’apprendre les tables par cœur, proposez-leur ce qui suit.

Puisque 7 + 9 = 16, pouvez-vous trouver différentes façons d’y arriver ?

Solutions : 7 + 7 + 2 = 16
  7 + 10 – 1 = 16
  8 + 8 = 16

Puisque 15 – 7 = 8 pouvez-vous trouver différentes façons d’y arriver ?

Solutions : 10 – 7 + 5 = 8
  15 – 5 – 2 = 8
  17 – 7 – 2 = 8

Et pour 7 × 9 ?

Solutions : 7 × 7 + 7 + 7 = 63
  7 × 10 – 7 = 63

Il existe de nombreux autres exemples. Or si l’élève ne s’habitue pas à transformer 
5 × 8 en 5 × 2 × 4 et ensuite en 10 × 4 = 40, il ne le fera pas avec les plus grands nombres.

Bref, il faut que les élèves apprennent à représenter les petits nombres et les opérations sur ces nombres en d’autres nombres et opérations plus simples. Cela doit être fait avant la mémorisation des tables et avant l’apprentissage des techniques de calcul.

Robert Lyons