L’algèbre avant l’arithmétique

Lorsqu’on désire utiliser une approche constructiviste, il faut que l’élève puisse redécouvrir les mathématiques par lui-même. Dans ce but, la séquence qui tient compte de l’augmentation de la complexité des consignes est celle qui est la plus adéquate (voir Mathadore 273).

En utilisant cette séquence, il nous a été permis de constater que l’algèbre devrait être enseignée beaucoup plus tôt. Un des problèmes qui le démontre est le suivant   (voir Mathadore 271).

Si nous demandons aux élèves d’illustrer  , ils ignorent au départ que, parmi les six centaines, il y en deux qui devront être transformées en vingt dizaines. Aussi, ils tentent, pendant un certain temps, de fabriquer un carré avec les 6 plaques d’une centaine, les 2 bâtonnets d’une dizaine et les 5 cubes-unité. Plusieurs ne pensent nullement à effectuer les transformations nécessaires et se heurtent à un formidable obstacle.

Après quelques minutes de recherches, d’essais, de réflexion, nous traçons au tableau une formulation équivalente :   Cette fois, il suffit de construire le carré, nous savons exactement quel matériel utiliser et tant que l’élève, qui tente de résoudre le même problème à partir du nombre 625, n’aura pas transformé 625 en 4 centaines + 20 dizaines + 25 unités, il n’y parviendra pas. En algèbre, tout est connu au départ, l’étape la plus difficile n’existe pas.

Nous avons vu des élèves, entre autres, cette fillette de dix ans, vraiment choquée par le fait que les élèves qui terminent leur secondaire fassent des problèmes plus faciles que ceux que les élèves du primaire affrontent. On me dira que la racine carrée n’est pas enseignée au primaire, c’est exact, mais la division par un nombre à deux chiffres l’est. Alors, comparez :

En algèbre, les multiples du diviseur sont déjà connus : 42x et 63y sont multiples de 21. En arithmétique, ils se cachent dans le nombre 483 lequel devra être interprété comme 42 dizaines + 63 unités.

Prenons un autre exemple. Si vous avez enseigné à des élèves de six à neuf ans, vous avez constaté que plusieurs savent que  5 – 7 = –2. Malheureusement, les programmes repoussent cet apprentissage vers la fin du primaire. Avant cela, les élèves doivent mémoriser que 5 – 7  est impossible. Il en résulte l’erreur la plus fréquente en soustraction :        
                                                                                       
                                                               
Cette erreur disparaîtra le jour où nous enseignerons en parallèle 5 – 7 et 7 – 5, ce qui est très facile même avec des élèves de six ans. Plus tard, leur réponse à 25 – 17 sera d’abord 1 – 2, c’est-à-dire 1 dizaine – 2 unités et ensuite 8 puisque 10 – 2 = 8. Malheureusement, puisqu’on leur enseigne que 5 – 7  est impossible, ils récoltent une erreur à six et sept ans, laquelle erreur se transformera en bonne réponse quatre années plus tard. Vivement l’algèbre où les élèves apprendront que 5x – 7x = –2x. 
                                                  
                                                                
L’algèbre ou l’arithmétique ? Comparez :

En fait, le jour où l’enseignement de l’algèbre devancera celui de  l’arithmétique, il ne le devancera que de quelques… minutes.

Nous verrons cela la semaine prochaine.

Robert Lyons