Ma «recette» préférée (7ans et plus)

Voici, tel qu’annoncé dans Mathadore 270, comment j’aime procéder afin de faire percevoir les mathématiques différemment ou encore afin de remonter le moral des élèves en difficulté. L’activité qui suit peut être utilisée autant avec les élèves de sept ans, de quinze ans et de quarante ans. Au besoin, relisez Mathadore 270 afin de connaître la mise en scène et le matériel utilisés.

Premier problème

Au tableau dessinez :

Demandez aux élèves de faire un plancher carré avec tout ce matériel, rien de plus, rien de moins. Rappelez que le plancher doit être exempt de trous. Ce premier problème vous aide à compléter la mise en scène et à vous assurer que les élèves ont compris ou, sinon, à leur rappeler le travail à faire. Il faudra parfois jusqu’à dix ou même quinze minutes afin que tous les élèves réussissent. Dessinez les solutions au tableau. Voici les deux plus fréquentes.

Ces deux dispositions sont équivalentes, cependant, lorsque plus de pièces seront utilisées, la seconde représentation, laquelle regroupe le plus possible les pièces semblables, facilitera le travail. Encouragez vos élèves à l’utiliser.

Deuxième problème

Même travail mais cette fois avec :

Solutions :

Troisième problème

Au tableau, écrivez : 

Quel que soit l’âge des élèves, plusieurs d’entre eux vont figer.

Dites-leur que c’est de cette façon que les mathématiciens demandent de faire un carré avec   .C’est donc le même problème que le précédent.

Dites-leur que, ne sachant pas la longueur du côté du grand carré, ils l’appellent x. On peut choisir une autre lettre. Ajoutez que puisque la longueur et la largeur du carré sont de la même grandeur, on écrit x² , c’est-à-dire x pour la longueur et x pour la largeur, x des «deux» côtés. Montrez le petit cube. Puisque ses côtés sont d’une longueur différente que ceux du grand carré, on écrira y² , y pour la longueur et y pour la largeur.

Montrez maintenant un des rectangles et demandez aux élèves comment on peut l’appeler. Certains diront z. Mentionnez que l’on essaie d’utiliser le moins de lettres possibles. Certains vous diront qu’un de ses côtés est comme x et l’autre comme y. Sinon, faites-le remarquer en ajoutant qu’on le représente par xy. Il faut donc utiliser 1x², un grand carré, 4xy , quatre rectangles et 4y² , quatre petit cubes.

Reste le mystérieux mais inoffensif  . Mentionnez simplement que ce symbole indique qu’il faut construire un carré avec . C’est donc le même problème que le problème précédent.

Quatrième problème

Écrivez : . Demandez aux élèves de vous décrire ce qu’il faut faire avant de les laisser s’exécuter. Dessinez alors :

Solution (D’autres arrangements sont possibles et acceptables) :
                                        
            

Cinquième problème

Écrivez  en mentionnant que c’est le matériel à prendre. Faites remarquer que le symbole  n’est pas là, ce qui signifie que, cette fois, on construira un rectangle. En passant, même si le symbole    n’apparaît pas, un carré peut parfois être une solution possible. C’est le cas pour  .

Solution possible
             
       
Notez la longueur du rectangle au-dessus de celui-ci (1x + 3y) et sa hauteur près de son côté (1x + 2y). Demandez aux élèves s’ils peuvent expliquer cela. Au besoin, montrez-leur que 1x + 3y montre que la largeur du rectangle est de 1x et de 3y.

Si vous voulez donner d’autres problèmes semblables, voici quelques suggestions.

a)       Solution : Longueur : (2x + 2y), largeur : (1x + 1y).
b)      Solution : Longueur : (1x + 1y), largeur : (1x + 1y).
c)       Solution : Longueur : (4x + 1y), largeur : (1x + 2y).
d)       Solution : Longueur : (3x + 1y), largeur : (1x + 2y).

Ces divers problèmes représentent soit l’extraction de racines carrées de trinômes algébriques soit la factorisation de trinômes algébriques. Vous serez peut-être étonné d’apprendre que les élèves réussissent mieux ces problèmes que des multiplications d’entiers à deux chiffres ou des divisions par un nombre à un seul chiffre. Nous verrons pourquoi la semaine prochaine. Par la suite nous verrons comment prolonger cette activité afin de présenter la division et la multiplication par des nombres à deux chiffres.

Robert Lyons