D’abord créatif, ensuite logique

Après avoir démontré le théorème de Pythagore ( Mathadore 240 ), nous avons fait allusion à la créativité. Cette semaine, nous verrons comment la créativité précède le raisonnement mathématique. Dans ce but, nous tenterons de découvrir de nombreuses façons de démontrer une formule mathématique, celle qui permet de trouver l’aire des trapèzes.
              
 

Cette formule est la suivante  . Donc, la moitié de la somme des deux bases  multipliée par la hauteur. Imitons Caboche, ce personnage légendaire doué d’une créativité phénoménale.

a) Sachant que l’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur, coupons le trapèze en deux triangles.

b) Et si nous coupions le trapèze en deux triangles et un rectangle ?
 

c) Au lieu de tout mettre en pièces, faisons l’inverse, formons un triangle qui contient notre trapèze. L’aire du trapèze sera obtenue en soustrayant l’aire du petit triangle de celle du grand.
               
 

d) Et puisque l’aire du parallélogramme est égale à sa base multipliée par sa hauteur, formons un parallélogramme qui sera le double du trapèze.

e) Nous pouvons aussi faire un rectangle avec ce trapèze.

f)    À moins de couper les coins inférieurs de sorte qu’en les inversant on puisse former un rectangle.

Mais cette dernière idée en amène une nouvelle : La base B est trop grande, la base b est trop petite, il faut une base qui soit la moyenne entre B et b donc  . Cette base moyenne sera ensuite multipliée par la hauteur connue du trapèze.

Ce qui vient de se produire est très fréquent. En énonçant de nouvelles idées, une en amène parfois une autre et, ainsi, on aboutit souvent sur une solution plus simple que celles qui l’ont précédée.

Cette fois, Caboche a proposé sept idées, il est possible de doubler ce score, mais il arrive que Caboche veuille passer à autre chose. C’est ce qui intervient souvent lorsque Caboche comprend qu’au moins une de ses idées aura du succès. En fait, cette fois, toutes les idées de Caboche conduisent à démontrer la formule de l’aire du trapèze. L’idée de former un grand triangle (c) est la plus difficile à exploiter mais elle peut permettre à Troublefête, cet autre personnage légendaire, expert en logique, méticuleux comme pas un, de démontrer la formule qui nous intéresse.

Pendant que Caboche s’exprime, il faut éviter toute censure, sa créativité en serait diminuée. Ce qu’on demande à Caboche, c’est de générer des idées qui semblent avoir un lien avec la solution recherchée. Par la suite, Troublefête se chargera :

1. De vérifier si chaque idée de Caboche vise à trouver l’aire du trapèze.
2. De vérifier si les données du problème sont suffisantes afin de construire une solution.

En fait, Caboche a lu le problème rapidement, parfois trop rapidement et, ensuite, Caboche a rêvé.

Prenons le cas (c), la hauteur du grand triangle ainsi que celle du petit triangle sont inconnues, on se demande bien comment Troublefête fera pour soustraire l’aire du petit triangle de celle du grand. Eh bien, Troublefête ne le fera pas, ce n’est pas son domaine, ce n’est pas son rôle d’imaginer des méthodes. Alors Troublefête va appeler Caboche et demander une nouvelle idée qui permettra peut-être d’exploiter l’idée des deux triangles.

Caboche, que l’on peut toujours « déranger » puisque, dans la même minute, son esprit explore sans cesse des idées nouvelles et différentes, se fera un plaisir de proposer à Troublefête d’appeler x la hauteur du petit triangle et x + h celle du grand. Ensuite, puisque le petit triangle et le grand triangle sont proportionnels, la base b se compare à la base B comme la hauteur x du petit triangle se compare à la hauteur x + h du grand triangle. Donc :
                                                
 
Et Caboche renverra la balle à Troublefête. La suite n’est pas simple, mais Troublefête ne perd pas souvent son chemin dans les dédales du raisonnement.

Robert Lyons