MATHADORE
    Volume 6 Numéro 203 – 29 janvier 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

         La surprotection à l'école (2).

Cette semaine nous verrons les pièges les plus efficaces que les programmes et manuels de mathématiques tendent aux élèves sous prétexte qu’il faut leur permettre d’apprendre à « leur » rythme. Voici le pire de tous :

« Sens des opérations (sur les nombres naturels : 1, 2, 3, 4,…) : division (soustraction répétée, partage, contenance).» Programme actuel du Québec, page 135.

Ce qui précède prescrit que les élèves de six à huit ans doivent apprendre que diviser c’est :
- Partager. Par exemple 6 $ ÷ 2 = 3 $, est une division et un partage. 
- Mesurer. La contenance est en fait la mesure. Par exemple : 6 $ ÷ 2 $ = 3, il y a 3 fois 2 $ dans 6 $. 
- Soustraire à répétition. La soustraction répétée est une technique qui permet de résoudre une division-mesure : 6 $ – 2 $ – 2 $ – 2 $ = 0, donc 6 $ ÷ 2 $ = 3.

Ce qui précède est dangereux et simpliste. Les effets commencent à se faire sentir lorsque, entre dix et douze ans, le programme prescrit l’apprentissage de la division sur les nombres décimaux. Ainsi, en page 135 on peut lire : « Nombres décimaux – Sens des opérations : multiplication et division. » C’est tout ! Contrairement à ce qui était prescrit comme « sens » de la division, quatre ans plus tôt, cette fois le programme ne donne aucun exemple. Les nouvelles divisions commencent à perdre du sens.

Essayons d’utiliser les exemples du premier cycle (6 – 7 ans).

- Le partage : 6 $ ÷ 0,5 = 12 $ !?

Heureux les gens qui réussissent de tels partages !

- La contenance : 6 $ ÷ 0,5 ???

Inapplicable ! Dans 6 $ il y a des dollars et des cents, ce qui peut s’exprimer par 
6 $ ÷ 0,5 $ = 12 ou par 6 $ ÷ 50 ¢ = 12. La division 6 $ ÷ 0,5 = 12 $ ne peut évidemment pas représenter une mesure ou une contenance.

- La soustraction répétée :

6 $ ÷ 0,5 = … 6 $ – 0,5 – 0,5 –… = 12 $ !?
 

Au secondaire (12 – 13 ans) les élèves aborderont la division de fractions qui présente les mêmes difficultés de compréhension que la division de nombres décimaux : 6 $ ÷ 0,5 = 6 $ ÷ ½ = 12 $.

Par la suite on tentera de leur faire comprendre que la division sur les entiers relatifs telle la division : 6 $ ÷  (–2) = –3 $ que l’on «explique » en disant « J’ai 6 $, combien ai-je de dettes de 2 $ ? »… Il y en aurait –3 ! Il y a certes un certain masochisme à se demander, lorsqu’on a de l’argent, combien cet argent représente de… dettes. Et qu’advient-il du sens de : 6 $ ÷ (–2) = –3 $ ? Inexplicable !

Inexplicable, sauf si vous êtes prof. de maths, vice-président du GRIP, CA de la Société Mathématique de France, Conseil scientifique du Third Education Group. Professeur certifié de Mathématiques. 

Avec de tels titres vous pouvez certes expliquer clairement une simple division telle    1 $ ÷ ½ = 2 $. Et voici comment vous vous commettez : 

… si l’on ne s’intéresse qu’à l’aspect numérique de la division, la division, qui donne le nombre de parts, donne bien le même résultat numérique que celle qui permet de trouver la grandeur d’une part.

Une fois ceci compris, on peut aussi dire que 1 $ ÷ ½ (dont le résultat en terme de grandeurs sera exprimé en $) aura le même résultat numérique que  1 $ ÷ ½ $. Mais là, la réponse est immédiate : 1 $ ÷ ½ donne comme résultat la réponse à la question : combien de fois un demi-dollar dans un dollar ? Et c’est 2. Et donc 1 $ ÷ ½ = 2 $.

N’est-il pas fascinant de constater à quel point la division perçue telle une mesure a marqué ce professeur certifié ? N’est-il pas remarquable de constater à quel point celui-ci fait abstraction du sens de la division 1 $ ÷ ½ pour ne considérer que l’aspect numérique ou encore pour changer 1 $ ÷ ½ en 1 $ ÷ ½ $ qui a un tout autre sens ? Évidemment ce professeur n’a jamais été capable de donner un sens à 1 $ ÷ ½ et nous soupçonnons que sa craie à tableau se transforme parfois en baguette magique et ses paroles en dogmes …

N’est-il pas remarquable que plus l’élève étudie les mathématiques, plus leur sens disparaît des programmes ?

- Diviser (6 – 7 ans) sur les nombres naturels : partager (6 $ ÷ 2 = 3 $) ou mesurer  (6 $ ÷ 2 $ = 3).
- Diviser (10 ans et plus) sur les nombres décimaux ou sur les fractions : mesurer seulement (6 $ ÷ ½ $ = 12 ).

Plus tard, sur les entiers relatifs, diviser n’a plus de sens dans les programmes. Et ne mentionnons pas l’algèbre où «a ÷ ½ = 2a». Partage? Contenance? Soustraction répétée ?

Et pourtant, la division par ½ fait partie de notre quotidien :

6 $ ÷ 3 = 2 $ (6 $ est le triple de 2 $)
6 $ ÷ 2 = 3 $ (6 $ est le double de 3 $)
6 $ ÷ ½ = 12 $ (6 $ est la moitié de 12 $)
1 L ÷ ½ = 2L (1 litre représente la moitié de 2 litres)
6 $ ÷ (–1) = – 6 $ (6 $ est l’opposé de – 6 $)

Malheureusement, les élèves sont aussi piégés lorsqu’on leur apprend que la multiplication est une addition répétée. Comment peuvent-ils comprendre alors que :       ½ × ½ = ¼, que  (–4) × (–3) = (+12) ou que a × b = ab ?

Lorsqu’ils apprennent, vers l’âge de dix ans,  que les exposants représentent une multiplication répétée : 6³ = 6 x 6 x 6, que comprendront-ils plus tard devant  5º = 1 ou face à  5-² = 0,04 ? Ce qu’ils croyaient avoir compris à dix ans viendra les hanter toute leur vie.

Dans les programmes, la surprotection se manifeste toujours de la façon suivante : étirer sur de nombreuses années des apprentissages qui ne nécessitent souvent que quelques heures. En agissant ainsi, on ne respecte pas les merveilleuses capacités d’apprentissage des élèves, on les détruits. Lorsque six années se passent entre le moment où l’élève apprend à résoudre :  3 + ___ = 5 et celui où on lui propose         3 + x = 5, on prend les élèves pour des incapables !

Qui est victime de ces pièges présents dans presque tous les programmes et presque tous les manuels ? Les élèves, les enseignantes et les parents. Quand les programmes seront-ils corrigés ? Un programme change en moyenne à tous les dix ans, exceptionnellement, le programme de 1980 du Québec a sévi durant 20 ans. Il faut dire que c’était le pire programme que le Québec se soit donné depuis son tout premier programme publié en 1936. Bref, les programmes finissent par être renouvelés par d’autres programmes qui perpétuent les mêmes erreurs car, au Ministère, les erreurs sont comme les fonctionnaires, elles se reproduisent. Est-ce ce que notre gouvernement appelle le « développement durable » ?

Lorsque des sources de difficultés répandues sont bien connues, lorsque les moyens de les prévenir sont validés depuis des années, lorsque l’utilisation de ces moyens est plus simple que ce qui se fait actuellement, quelle est l’idée de politiques gouvernementales qui maintiennent ces sources de difficultés dans les programmes quitte à augmenter les budgets d’aide aux élèves en difficulté ? Où se cachent ces politiciens, si rapides à voter des lois sous prétexte que certains moyens de pression mettent en danger la réussite scolaire ? Quelle bande de farceurs ! Avec vos titres et vos incohérences, vous me rappelez un certain «professeur de mathématiques certifié». 

Si vous êtes élèves, parents ou enseignantes, que peut-on vous dire face à une véritable trahison ? Nous l’ignorons, mais vous avez toute notre admiration.

Robert Lyons