L’algèbre avant la numération positionnelle

Les activités proposées dans Mathadore 190 à 194 ont amené les élèves à additionner et à soustraire en parallèle des quantités distinctes. Ainsi, dans Mathadore 193 ils ont tenu compte des divers appareils électroménagers, n’additionnant pas ensemble réfrigérateurs et fours micro-ondes. Dans Mathadore 194 les soustractions effectuées devaient tenir compte des divers modèles de maisons commandées. Il est évident qu’au moment de l’inventaire il ne faut pas confondre un type d’appareil ménager avec un autre type ou encore qu’une cuisinière électrique n’est pas équivalente à un, deux, trois,… réfrigérateurs. Même chose pour les maisons commandées.

Comme les mathématiques se pratiquent plus facilement avec des représentations symboliques courtes qu’avec des termes plus ou moins longs, il y a lieu d’utiliser un seul symbole pour désigner tel appareil ménager ou telle maison et un symbole distinct pour tel autre appareil ou telle autre maison.

Ainsi, on conviendra, par exemple, qu’au lieu d’écrire : 3 cuisinières électriques + 2 cuisinières électriques = 5 cuisinières électriques, il suffira de noter 3a + 2a = 5a. 
Ces deux notations supposent que les cuisinières électriques sont mathématiquement équivalentes entre elles. Nous y reviendrons dans Mathadore 196.

Première activité

Reprenez la superplanche et annoncez aux élèves que, cette fois, la colonne de gauche représente des paires de patins, celle du centre des ballons et celle de droite, des planches à roulettes. Dites-leur que vous aimeriez noter le travail fait pour chaque colonne mais que vous trouvez long de noter par exemple : 3 planches à roulettes + 2 planches à roulettes = 5 planches à roulettes.

Demandez-leur de trouver un moyen afin que l’énoncé précédent soit plus court et, selon les suggestions des élèves, réagissez comme suit :

- « Remplacer les termes par un dessin. » : Tracez un dessin précis prend du temps, plus que d’écrire deux ou trois mots.
- « N’écrire que les chiffres : 3 + 2 = 5. » : C’est plus court, mais nous risquons de confondre entre eux des modèles différents d’appareils ou de maisons.
- « Utiliser une abréviation, ou une seule lettre, pour chaque modèle d’appareil ou de construction, donc 3r + 2r = 5r pour les réfrigérateurs, 6c – 2c = 4c pour les cuisinières électriques,… » : Excellente idée !

Si vos élèves ne proposent pas ces trois possibilités, proposez celle(s) qui manque(nt) et demandez-leur de faire et de justifier leur choix entre ces possibilités.

Deuxième activité

Au tableau écrivez :

Code 1a = 1 paire de patins ;
 1b = 1 ballon ;
 1c = planche à roulettes.

Dites à vos élèves que ce qui a été écrit représente un code secret. Au lieu d’écrire 1 paire de patins, nous écrirons 1a. C’est plus court.

Demandez-leur ce que vous voulez dire si vous écrivez :

- 3b ? (3 ballons)
- 5c ? (5 planches à roulettes)
- 4a + 3a ? (4 paires de patins et 3 autres paires de patins)
- 5b – 2b (5 ballons et il faut en enlever 2 ou encore que l’équipe des + possède 3 ballons de plus que l’équipe des –).

Troisième activité

Demandez à vos élèves d’effectuer sur la superplanche et de compléter ensuite :

1. 5c + 3c = 
2. 4b – 1b =
3. 2a – 5a =     (–3a : un marchand possède 2 paires de patins et ses clients lui ont commandé 5 paires, il lui manque donc 3 paires, soit  –3a. Ici, ce qui est en inventaire correspond à l’avoir de l’équipe des + et ce qui est commandé à celui de l’équipe des  –).
4. 3c – 5c + 3c =     (1c)
5. 3b + 2a =         (Des ballons et des paires de patins, on ne parle pas des mêmes choses, on ne peut donc faire 3 + 2 = 5. Il faut garder 3b + 2a d’où 3b + 2a = 3b + 2a.)

Reprenez quelques exercices semblables en changeant le thème. Évitez tout thème qui rend possible la transformation d’unités d’une colonne en unités d’une autre colonne. Par exemple, évitez les pièces de monnaie, les pointes de pizzas de grandeurs variées.

Robert Lyons

La semaine prochaine : Où en sommes-nous et pourquoi cette séquence plutôt que la séquence traditionnelle ?