Qu’est-ce qu’un problème ? (2)

Voici le pire problème auquel se sont mesurés les mathématiciens des trois derniers siècles et probablement ceux qui les ont précédés également.

Pythagore a démontré que la somme de deux carrés peut être un carré. Prouvez que la somme de deux cubes, différents de zéro, ne peut être un cube et que la somme de deux nombres entiers, autres que zéro, élevés à une puissance plus grande que 2 ne peut être un entier élevé à cette même puissance.

Symboliquement :

Si a, b, c et n sont des entiers plus grands que zéro, an + bn = cn si et seulement si    n = 2 ou 1.

S’agit-il d’un vrai problème ? Aucun doute n’est permis considérant le nombre et la qualité des mathématiciens qui ont tenté de le résoudre sans succès.

Est-ce une « situation-problème » ou un « problème d’application » tel que l’entend le ministère de l’Éducation du Québec ? Vu l’absence de contexte et de bavardages préalables, ce n’est pas une « situation-problème ». Par contre, comme la seule solution reconnue à date compte 120 pages démontrant de nouvelles relations mathématiques et comme l’auteur de cette solution y a consacré sept années de loisirs et de périodes de recherches professionnelles, ce n’est pas non plus un « problème d’application » dont la durée avoisinerait … une quinzaine de minutes.

Il est troublant d’apprendre que le plus célèbre problème de l’histoire des mathématiques n’entre dans aucune des deux catégories de problèmes définies par le MEQ.

Dans Mathadore 178, nous avons avancé l’idée que fondamentalement un problème est en quelque sorte une collision entre deux concepts qu’un individu croit valables. C’est donc un événement très personnel.

Un problème, c’est lorsque, face à une situation, nous fronçons les sourcils en projetant souvent notre tête légèrement vers l’arrière et en pensant « Oh! Oh! ». C’est souvent ce qui nous empêche de dormir. C’est souvent un isoloir qui fait que nous devons « discuter avec nous-même ».

Et comment faisons-nous pour résoudre un vrai problème ? Une des meilleures façons est « de dormir dessus ». Il vous est sans doute arrivé de vous endormir en pensant à un problème ou après avoir consacré une bonne partie de votre journée à tenter de résoudre le problème. Très souvent, c’est au réveil, que vient une idée pouvant  mener à une solution. Que s’est-il passé?

Vous savez comment le cerveau travaille pendant le sommeil ? D’une façon qui semble souvent complètement folle en nous plaçant dans des situations invraisemblables, totalement illogiques. On dirait que le cerveau colle alors, au hasard, une série d’éléments vécus récemment, ou dans un passé plus lointain, en les altérant souvent de façon considérable. Une vraie tempête d’idées farfelues ou non.

L’analyse des rêves permet parfois de décortiquer tout cela. Elle montre alors que divers liens de nature analogique ont été établis. Des liens analogiques et non des liens logiques. Et c’est ce type d’activités du cerveau qui inspire souvent une piste de solution à un problème.

En consultant les modèles scolaires de résolution de problèmes, nous retrouvons infailliblement une démarche logique, une démarche d’analyse, une démarche dans laquelle il y a peu de place pour la créativité, pour l’analogie, pour les tempêtes d’idées. Il est clair qu’il est plus facile d’enseigner et de vivre une situation qui suit une certaine logique, mais, est-ce comme cela que nous pouvons le mieux résoudre un problème et le mieux initier les élèves à la résolution de problèmes ?

Pour un mathématicien, 50% de son temps de travail sur un problème consiste à comprendre le problème. Cette étape va bien au-delà de la compréhension du simple énoncé du problème, elle consiste à chercher des liens analogiques entre ce problème et d’autres problèmes ou situations connues. Elle consiste aussi à énoncer des idées réalistes, farfelues ou absurdes qui permettent souvent d’améliorer la compréhension primaire du problème et à identifier de nouvelles analogies possiblement utiles.

Qu’est-ce qui fait qu’à ce moment, nous faisons telle analogie ? Nous l’ignorons totalement. Comment aider les élèves à vivre cette tempête d’idées au lieu de se lancer trop vite dans une démarche d’essais-erreurs ? Il faut comprendre ici que la démarche d’essais-erreurs n’est pas mauvaise, mais qu’elle ne fait pas partie de cette première phase de la résolution de problème. En effet, dans cette phase des idées sont lancées, aucune n’est validée, c’est trop tôt. Après cette première phase de la résolution d’un problème, laquelle devrait durer environ 50% du temps de résolution, on passe à diverses tentatives de construction logique d’une première piste de solution. Il peut arriver que la construction logique ait besoin d’un support, d’exemples et, c’est alors, que l’essai-erreur peut être utile.

Il me semble évident qu’il nous faut consacrer de façon prioritaire nos réflexions et nos recherches à l’aide à apporter aux élèves au moment de la première phase de la solution d’un problème. Nous n’avons pas de temps à perdre à tenter de définir ce qu’est un problème, il suffit d’observer l’attitude d’un élève dans une situation précise pour savoir s’il a vraiment un problème.

Pas de temps à perdre non plus à tenter de catégoriser les problèmes, cela n’aide nullement les élèves et les enseignantes, cela ne sert qu’à éviter de s’attaquer aux vrais… problèmes.

Robert Lyons