Rectangle et fonction multiplicative

Il s’agit certes de l’image mentale la plus importante en mathématiques. Elle illustre la multiplication, la division, la racine carrée, la factorisation. Elle permet de comprendre pourquoi la division par zéro est impossible ou pourquoi la division par une fraction inférieure à un ( 1 ) conduit à une réponse plus grande que le nombre original            (6 ÷ ½ = 12). Elle permet d’identifier les problèmes où une multiplication ou une division est requise. Elle permet de comprendre les algorithmes touchant toutes les opérations mentionnées plus haut.

Oubliez la présentation de la multiplication en tant qu’addition répétée, ou sous la forme d’un ensemble de paquets, ou servez-vous de ces exemples afin d’expliquer que : ½  x  ½ = ¼  ou que (-4) x (-5) = 20.

Oubliez le partage, la soustraction répétée ou la mesure si vous voulez comprendre la division ou servez-vous de ces moyens afin  d’expliquer  que  1$ ÷ ½ = 2 $  ou  que 1 $ ÷ 0,5 = 2 $  ou enfin que  6 $ ÷ -2 = -3 $.

La multiplication a été mise au point afin de décrire des rectangles.  Le  sens  du  mot facteur est « celui qui fait », or un rectangle dont l’aire est de 15 unités peut être fait au moyen d’un rectangle dont les côtés mesurent 3 et 5 unités. Les nombres 3 et 5 sont facteurs de 15. Voici quelques rectangles associés à la fonction multiplicative.

                        Un tapis de 2 par 4 dont l’aire est 8 (numérateurs)
                  sur un plancher de 3 par 5 dont l’aire est 15 (dénominateurs).
 

Note : La multiplication de 2,1 par 3,2 ressemble à celle de 21 par 3,2. La division de 6,72 par 2,1 et de 6x² + 7xy + 2y² par 2x + 1y ressemblent en tous points à celle de 672 par 21.

Pour la division de 672 par 21, on doit placer 6 plaques de 100 unités, 7 bandes de 10 unités et 2 cubes de 1 unité dans un corridor large de 21 unités. On place d’abord 6 plaques et 3 bandes pour un total de 630, il reste donc 42 unités à placer. En plaçant ces 6 plaques et 3 bandes, on a reproduit 3 fois un modèle dont la largeur est de 10 unités ou 1 dizaine, donc 3 dizaines, et on a inscrit 3 sous le crochet de la division. Avec les 42 unités restantes, on a placé 2 colonnes contenant 2 dizaines et 1 unité chacune, pour un total de 42 unités. Ces deux colonnes ont une longueur d’une seule unité chacune, d’où 2 unités sous le crochet de la division.

Et la « terrible racine carrée » ? Il s’agit simplement de construire un carré avec un certain nombre d’unités. Prenons comme précédemment un nombre qui n’exige aucune transformation, de centaines en dizaines par exemple. Soit à trouver la racine carrée de 441, de 4,41 ou de 4x² + 4xy + 1y². De toute façon, c’est la même chose.

                                                  
On place d’abord les 4 plaques (400, 4 ou 4x²), la surface recouverte a une largeur de 20 unités, de 2 unités ou de 2x.

Il reste à situer 41 unités, 0,41 unités ou 4xy + 1y² dans le « L » inversé. Ce « L » inversé est composé de 2 rectangles identiques et d’un carré qui ont tous la même hauteur.
                                             

Il est facile de trouver que la hauteur du rectangle formé avec les branches du « L » inversé sera d’une seule unité (dans le cas de la racine carrée de 441), d’un dixième d’unité (dans le cas de la racine carrée de 4,41) et de 1y (pour 4x² + 4yx + y²). En ce qui concerne la largeur de ce rectangle, il faut doubler ce qui a été inscrit dans le crochet pour montrer la plus grande partie du rectangle, soit les deux grandes branches du « L » inversé,  (4__ ou 4x + sous le crochet plus bas) et ajouter 1 unité ou 1y, soit la largeur du carré, pour montrer la longueur totale du rectangle provenant toujours du « L » inversé. Nous obtenons donc 41 ou 4,1 ou 4x + 1y. Il reste à multiplier par la hauteur du rectangle (41 x 1 = 41 ou 4,1 x 0,1 = 0,41 ou (4x + 1y) x 1y = 4xy + 1y²). La valeur trouvée, soit la hauteur du rectangle formé par le « L » inversé doit être replacée dans le carré original. On constate alors que le carré a 21 unités de largeur et 21 est la racine carrée de 441 ou 2,1 unités de largeur et 2,1 est la racine carrée de 4,41 ou encore 2x + 1y de largeur car 2x + 1y est la racine carrée de 4x² + 4xy + y².

Et la division par zéro, 6 ÷ 0, par exemple ? Il faudrait placer 6 cubes unités dans un rectangle de largeur égale à zéro. C’est impossible !

Et la division par ½, 6 ÷ ½, par exemple ? Il faut placer 6 cubes unités dans un rectangle dont la largeur est égale à ½ unité. Il faudra couper les cubes en deux et ces 12 demi-cubes formeraient un rectangle ayant 12 unités de longueur par ½ unité de largeur.

Robert Lyons