Le grand secret en résolution de problèmes

Ce grand secret comporte trois volets qui s’encastrent comme des poupées gigognes. Au centre, l’image mentale, elle est à la base de la compréhension du problème. Elle doit être simple et doit bien représenter l’ensemble du problème tout en laissant une large part à la créativité,  qui est la seconde poupée, celle qui entoure l’image mentale. En mathématiques, cette créativité peut se traduire en symboles grâce à la très grande souplesse du symbolisme mathématique,  c’est la troisième poupée, la  « poupée emballage ».

Prenons une image mentale simple et bien connue : le rectangle. Avec un peu d’imagination, nous pouvons associer le rectangle à de nombreux types de problèmes  :

- Un véhicule avance à la vitesse moyenne de 50 km/h. Quelle distance parcourt-il en 4 heures ?
- Si un volume coûte 50 $, combien coûtent 4 volumes semblables ?
- Un passage piétonnier mesure 50 mètres de longueur et 4 mètres de largeur. Quelle est l’aire de ce passage ?

Le rectangle constitue l’image mentale de référence, celle qui aide à comprendre la situation, celle qui peut rapprocher cette situation d’une autre qui est connue. L’image mentale facilite donc le transfert. On peut même se demander si elle n’en constitue pas le véhicule.
 Voici deux nouveaux rectangles.
 
           
Le premier rectangle mesure 14 cm sur 23 cm. Son aire est de 14 cm x 23 cm = 322 cm². Le second rectangle ne représente que des nombres et peut nous permettre de visualiser les différentes étapes de la multiplication de 23 par 14.

Le même rectangle peut aussi servir à illustrer que  
      (2x + 3y) (x + 4y)  =  2x² + 11xy +12y² 
ou que 2,3 x 1,4 = 3,22.

Les quatre derniers rectangles peuvent donc être décrits au moyen de systèmes symboliques différents, mais le concept de base est toujours le même. Pourtant, les élèves effectueront 23 x 14 vers l’âge de dix ans. Deux ans plus tard ce sera le tour de 2,3 x 1,4 et, après quatre nouvelles années d’études, ils se mesureront à (2x + 3y) (x + 4y). Ils feront rarement les liens entre ces trois multiplications. Chose remarquable, en commençant par présenter le rectangle, qui sert de support à ces trois multiplications, il faut environ une heure aux élèves de dix ans pour pouvoir effectuer et comprendre ces trois multiplications. De plus, de façon très claire, les élèves mentionnent alors que c’est la multiplication algébrique qui est la plus facile puisque, dans ce cas, il n’est pas nécessaire de regrouper certains types d’unités et d’effectuer une transformation. Exemple : 12 unités = 1 dizaine + 2 unités. 
En algèbre, 12y² demeurent 12y².

L’image mentale est donc à la base de la compréhension, première étape en résolution de problèmes.  Elle permet de voir le problème dans son ensemble, d’imaginer des solutions et de choisir les symboles adéquats pour codifier ses idées.

La personne qui utilise l’image mentale ne peut faire autrement que d’associer les mathématiques à des réalités concrètes. Par contre, celle qui les ignore ne peut comprendre le rôle des mathématiques et s’enferme dans un univers de raisonnement, de symbolisme et de mémorisation.

Pensez à un élève de seize ans qui doit apprendre à multiplier les nombres algébriques. S’il sait comment cette multiplication s’associe à un rectangle et à la multiplication déjà apprise de nombres entiers, son apprentissage sera rapide et solide. Par contre, son camarade qui ne fait pas de telles associations se croira devant un apprentissage totalement nouveau. Quel est le pourcentage d’élèves de seize ans et plus qui savent que de telles associations sont possibles ? Environ deux pourcent (2%).

L’image mentale est à la base de la compréhension et du transfert. Elle rend les choses tellement plus simples. Parmi toutes les images mentales précieuses, le rectangle est la plus importante. Ce n’est pas surprenant, regardez autour de vous, quelle est la figure géométrique que vous voyez le plus ? Si les mathématiques ont été construites pour nous permettre de comprendre notre environnement, n’est-il pas normal que le rectangle y trouve une place si importante ?

Afin d’en donner une preuve plus éclatante encore, consultez « Mathadore 170 – Spécial », en pièce jointe ou sur www.defimath.ca. Vous y trouverez une démonstration extrêmement simple de la conjecture de Fermat. Pensez que l’autre solution, laquelle existe depuis dix ans, comporte 120 pages de mathématiques avancées. C’est un chef d’œuvre de logique. La solution de « Mathadore 170 – Spécial » est plus simple et plus facile car elle est encadrée par une image mentale qui nous rappelle les données du problème et les règles mathématiques applicables.

Robert Lyons
Prochaine parution : 15 janvier 2005.

Joyeuses Fêtes !