La résolution de problèmes : une habileté (5)

La conclusion du théorème de Fermat

Dans Mathadore 168, nous avons vu comment Fermat a peut-être démontré que si n est impair et plus grand que 1,  ne peut égaler   si A, B, et C sont des entiers plus grands que zéro.

La descente infinie, qui terminait cette partie de la preuve, peut maintenant servir pour les exposants pairs qui sont des multiples de nombres impairs tels 6, 10, 12, 14, 18, 20…

Prenons   transformons cela en   . Puisqu’il n’y a aucun facteur commun entre B et C,  et  sont des nombres entiers élevés à la puissance 6. Soit =  et = Alors  =  devient   = . Mais nous savons que  ne peut être égal à un cube et, conséquemment, à un nombre élevé à la puissance 6 sauf si  et  sont des entiers élevés à la puissance 6. 
Donc  peut être remplacé par , lequel sera décomposé en  où  devra être un cube, et ainsi de suite,  à l’infini.

Avec la descente infinie, Fermat a donc pu éliminer ces exposants, multiples d’un nombre impair. Il lui restait à éliminer les exposants 4, 8, 16, 32,… Dans ce but, il lui suffisait d’éliminer les nombres élevés à la puissance 4. En réussissant cela, par la descente infinie, il éliminait automatiquement les exposants 8, 16, 32,…

La seule preuve que Fermat a laissée est la preuve concernant . Cette preuve est plus difficile que tout le reste lorsqu’on la fait par la descente infinie, comme l’a fait Fermat. Nous ne la décrirons pas ici, elle appartient à l’histoire des mathématiques et elle est bien connue.

Or, prouver que  ne peut exister est relativement facile et Fermat pouvait le faire plus simplement. Pour cette raison, nous croyons que s’il a, une fois de plus, utilisé la descente infinie, c’est dans le but d’uniformiser sa preuve.

Et maintenant ? Nous ne saurons jamais si notre hypothèse est juste et si Fermat a travaillé tel que décrit dans les derniers Mathadore ou de façon semblable. Ce que nous pouvons cependant savoir est si la preuve présentée dans notre bulletin est valable. Alors, je vous lance le défi suivant : trouver une faille dans cette preuve. En fait, il y en a une, un élément dans cette preuve a été admis trop facilement et ce, même si cet élément est correct. Lequel ? Tous ceux, qui ont tenté de démontrer le théorème de Fermat, même Andrew Wiles, qui y est parvenu en 1994, ont été victimes de telles failles dans leur preuve. Wiles est cependant le seul qui soit parvenu à combler la faille de sa preuve.

Si vous ne trouvez aucune faille, peut-être pouvez-vous vous mesurer à un second défi : trouver une preuve plus simple. Nous croyons avoir trouvé une telle preuve, une preuve qui évite toutes ces descentes infernales, pardon, infinies ! Nous nous en servirons plus tard afin d’illustrer les diverses stratégies de résolution de problèmes dont nous disposons et que nos élèves auraient avantage à développer. Cette preuve peut être construite à partir des schémas utilisés précédemment.

La semaine prochaine, nous commencerons à étudier les stratégies et méthodes qui permettent de résoudre un problème.

Robert Lyons