La résolution de problèmes : une habileté (3)

Les triplets pythagoriciens

Il existe une infinité de triplets pythagoriciens. Pour en trouver quelques-uns, il suffit de prendre le carré d’un nombre impair, disons 49, qui est le carré de 7, et de diviser ce carré par 2, donc 49 ÷ 2 = 24,5. Utilisons maintenant deux axes de nombres tels ceux de Mathadore 166, l’axe x étant celui des entiers de 0 à 49 et l’axe y étant celui du carré de ces entiers.

            
Les seuls nombres qui permettent la relation de Pythagore, à partir de 49, ont été placés sur ces axes. Commençons par 24 et 25, leur somme est 49 et leur différence est 1 (25 – 24 = 1). Ils permettent l’égalité 72 + 242 = 252   (49 + 576 = 625). 
7, 24 et 25 constituent un triplet pythagoricien de la famille 49 (24 + 25 = 49). Les nombres 20 et 29 permettent de former un autre triplet : 212 + 202 = 292 
(441 + 400 = 841). La somme 49 de 20 et 29  permet de classer ce triplet dans la famille du 49. Observez que la différence entre 29 et 20 est 9, un nombre carré. Un autre triplet est formé de 35, 12 et 37 (1225 + 144 = 1369). Donc, pour former des triplets, il suffit de diviser un carré impair par 2 (ici 49 ÷ 2 = 24,5) et de faire un segment de droite dont ce résultat est le centre (24,5 est le centre de l’axe x). Par la suite, on s’éloigne également de ce point central vers la gauche et vers la droite, ce qui permet d’obtenir des nombres dont la somme demeure constante 
(Ex. : 24 + 25 = 49; 20 + 29 = 49; 12 + 37 = 49). Parmi les paires de nombres obtenues, celles dont la différence est un carré conduisent à un triplet : 25 – 24 = 1 d’où le triplet 7, 24, 25 ; 29 – 20 = 9, d’où le triplet 21, 20 et 29. Dans ce processus, on néglige les nombres qui ne sont pas des entiers, même si la différence entre ces nombres est un carré, par exemple 22,5 et 26,5. La relation a2 + b2 = c2 exige que a, b et c soient des entiers, d’où l’exclusion de 22,5 et de 26,5.

À ces trois triplets pythagoriciens, nous ajouterons deux autres triplets utiles mais exclus de l’énoncé à démontrer. Voici ces cinq triplets importants.

           
Remarquez que toutes les paires de nombres b et c ont la même somme, 49 et que leur différence est toujours un carré : 0, 1, 9, 25 et 49. En multipliant chaque fois la somme par la différence de chaque paire, on obtient un carré a2 (Ex. : (29+20) (29-20) = 441). Cette relation mathématique nous servira beaucoup.
On la symbolise par : 

 
Elle est équivalente à : 

Remarquez enfin que b décroît de 24,5 à 0 alors que c croît de 24,5 à 49.

Ce que nous avons découvert peut être illustré aussi par des rectangles. En fait, la meilleure représentation d’une multiplication est toujours le rectangle. Nous avons donc un ensemble de rectangles dont la hauteur est constante, soit 49, provenant de c + b, et dont la longueur varie de 0 à 49, provenant de c – b.

                  
D’un rectangle réduit à une ligne verticale, au point 24,5 où b = c, nous éloignons b et c pour obtenir différents rectangles de hauteur 49, dont la base c – b est un nombre carré et dont l’aire correspond aux divers carrés a2 possibles.

Il ne nous reste plus qu’à utiliser ce système pour les exposants plus grands que 2.

La semaine prochaine, nous découvrirons la clé du dernier théorème de Fermat dans : Les exposants impairs passent à la moulinette…

Robert Lyons