La résolution de problèmes : une habileté(2)
 

L’univers mathématique de Fermat

Pierre de Fermat a vécu de 1601 à 1665. Il était le Juge Suprême de la Cour Souveraine du Parlement de Toulouse. En cette période de complots et d’intrigues, Fermat choisit de s’acquitter de ses tâches de façon efficace, mais sans pavoiser. De plus, pour garder toute son objectivité, il fréquentait peu de gens de peur d’avoir un jour à les juger. C’est donc pour occuper ses temps libres qu’il s’adonnait à des recherches en mathématiques.

Il était fasciné par le théorème de Pythagore, il a été un précurseur de la théorie des nombres, de celle des probabilités, de la géométrie analytique et du calcul différentiel. Il était particulièrement habile en calcul mental et pouvait se remémorer facilement toute une longue suite de calculs.

Fermat vivait dans la tradition du secret des mathématiciens français de son époque. Lorsque Blaise Pascal le pressa de publier une partie de ses travaux, il ne fut pas d’accord à moins que son nom n’y figure pas. Régulièrement, il expédiait des missives, aux mathématiciens européens, dans lesquelles il énonçait une découverte mathématique sans la démontrer, en défiant ses correspondants de le faire.

À son décès, en feuilletant ses notes, cent vingt énoncés semblables furent découverts ainsi que la démonstration d’un de ces énoncés et d’une partie de ce qui allait être appelé le dernier théorème de Fermat. Cette démonstration concerne l’exposant 4. Elle prouve que a4 + b4= c4 est impossible si a, b et c sont des entiers positifs différents de zéro.

Sa preuve est cependant bizarre, elle procède par « descente infinie ». Pour comprendre cette descente infinie, imaginez un nombre entier N dont la racine carrée est un entier. Imaginez que la racine carrée de cette racine carrée d’entier soit aussi un entier et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Par exemple, la racine carrée de 256 est 16, celle de 16 est 4, celle de 4 est 2, et celle de 2 est 1,4142… un nombre dit irrationnel et non un entier. En partant de 256, et en effectuant une suite de racines carrées, on finit par obtenir un nombre irrationnel. Fermat a démontré que pour que a4 + b4= c4 il faut que l’application d’une telle suite de racines carrées sur les nombres entiers a, b et c ne permettent jamais d’obtenir autre chose que des nombres entiers. Or cela n’est possible que pour les nombres 1 et 0 car la racine carrée de 1 est 1 et la racine carrée de 0 est 0. Donc, dans le cas de  a4 + b4= c4 seule l’égalité  14 + 04= 14 est possible. L’égalité 24 + 04= 24 n’est pas considérée car 2 et 0 sont des multiples de 1 et de 0 (1 x 2 = 2 et 0 x 2 = 0) or si une égalité est vraie, en multipliant chacun de ses termes par le même nombre, l’égalité qui en résulte sera vraie. Pour cette raison, on ne considérera que l’expression simplifiée.

Plusieurs mathématiciens ont pensé que Fermat a dû faire la démonstration de son énoncé pour quelques exposants, tels les exposants 3, 4 et 5 avant de généraliser. Pourtant les mathématiciens ont vite compris que la preuve la plus difficile à faire concerne les exposants impairs et, pire encore, les exposants qui sont des nombres premiers. Or, Fermat a laissé des énoncés concernant les nombres premiers, s’il a généralisé si facilement, c’est qu’il avait trouvé une façon de les éliminer rapidement. Cela pouvait être fait s’il avait d’abord réglé le cas de tous les exposants impairs. Si cette hypothèse est juste, la preuve qu’il a laissé pour l’exposant 4 est sa conclusion, la dernière preuve qu’il a conçue et non une preuve parmi d’autres.

Voici notre hypothèse : Fermat a d’abord compris que les exposants impairs ne pouvaient satisfaire l’équation an + bn  = cn. Par la suite, il a pu éliminer les exposants pairs qui sont des multiples de nombres impairs (donc 6, 10, 12, 14, 18,…). Il a réussi cela  par la descente infinie.

Il ne lui restait plus qu’à démontrer l’énoncé pour les exposants 4, 8, 16, 32,… qui 
ne sont pas des multiples de nombres impairs. Afin d’uniformiser le plus possible sa preuve, il a adapté la descente infinie, déjà utilisée, à l’exposant 4, ce qui réglait en même temps le cas des exposants 8, 16, 32,… Si notre hypothèse et juste, il nous faut trouver d’abord comment il a éliminé les exposants impairs.

Il était fasciné par le théorème de Pythagore et il a certainement utilisé ses observations sur les triplets pythagoriciens (c’est-à-dire sur les nombres a, b et c qui permettent a2 + b2 = c2, par exemple  32 + 42= 52  car 9 + 16 = 25) pour résoudre le cas des exposants impairs.

Un autre élément de l’environnement mathématique de Fermat est celui des logarithmes. Ceux-ci ont été inventés alors que Fermat n’avait que douze ans. Il ne pouvait les ignorer. Ses aptitudes en calcul mental nous conduisent à croire qu’il utilisait certaines représentations mentales des nombres sous la forme de tracés géométriques. Voici un de ces tracés qui ne représente pas des logarithmes mais qui permet de comprendre cette idée. Le premier axe représente la suite des nombres entiers alors que le second lui fait correspondre les carrés de ces premiers entiers. C’est ce type d’association entre deux séries de nombres qui conduit aux logarithmes, lesquels ont conduit à l’invention de la règle à calcul.

        
Chaque fois que la somme de deux nombres inscrits sur l’axe y est égale à un autre nombre inscrit sur l’axe y, la relation de Pythagore s’applique sur les entiers de l’axe x. Ainsi, sur l’axe y on a   9 + 16 = 25 donc, leurs correspondants sur l’axe x, les nombres 3, 4 et 5 forment un triplet pythagoricien. Remarquez aussi les nombres 36 + 64 = 100 associés au triplet 6, 8, 10. On négligera les triplets comme ce dernier car 6, 8 et 10 ont un facteur commun : 2. À cause de cela, il suffit de tenir compte du triplet 3, 4, 5 pour régler le cas du triplet 6, 8, 10 où 6 ÷ 2 = 3, 8 ÷ 2 = 4 et 
10 ÷ 2 = 5.

Voilà donc notre plan d’action :

1. Étudier les triplets pythagoriciens (Mathadore 167).
2. Grâce à cette étude, éliminer les exposants impairs (Mathadore 168)
3. Régler le cas des exposants pairs (Mathadore169)

Robert Lyons