La résolution de problèmes : le but des maths

Depuis Mathadore 159, nous discutons de la résolution de problèmes vue telle une didactique ou une façon d’enseigner et, partant, d’une façon d’apprendre. Cela n’est qu’un des nombreux sens que l’on attribue à la résolution de problèmes. Abordons-en un autre.

L’objet des mathématiques

Essentiellement les mathématiques visent la compréhension de l’univers qui nous entoure. Elles étudient les caractéristiques de cet univers en tentant d’isoler des ensembles de règles qui permettent non seulement de décrire notre environnement, mais aussi de le contrôler.

Bien peu d’éléments et d’événements ne peuvent être mathématisés. Le sculpteur qui doit tirer une statue d’un bloc de granit se fera d’abord une image mentale de sa statue. Il en déterminera approximativement les diverses dimensions afin de choisir un bloc ni trop petit, ni trop grand. Le réalisateur d’un film doit tenir compte de multiples facteurs, temps de chaque scène, horaire de tournage, disponibilité des comédiens, des décors, entre autres. Le directeur d’école doit concevoir des horaires, l’enseignante doit planifier ses cours. Le commerçant doit s’assurer d’avoir des stocks adéquats et… le politicien doit lire les sondages.

Nos actions quotidiennes peuvent donc être mathématisées. De plus, les mathématiques, en isolant des lois dans des domaines divers, réussissent souvent à effectuer des rapprochements entre ces divers domaines. Ainsi en est-il de la loi des signes en multiplication qui énonce que deux signes semblables, que l’on multiplie, donnent un signe positif (+ x + = + et – x – = +) alors que deux signes opposés donnent un signe négatif (+ x – = – et – x + = –). Cette loi est présentes dans de nombreuses activités quotidiennes :

- En français :
1. C’est vrai (+) qu’il est poli (+) donc il est poli (+).
2. C’est vrai (+) qu’il est impoli (–) donc il est impoli (–).
3. C’est faux (–) qu’il est poli (+) donc il est impoli (–).
4. C’est faux (–) qu’il est impoli (-–) donc il est poli (+).

- En magnétisme :
1. Deux pôles semblables se repoussent (+) : (+ x + = +  et  – x – =  +).
2. Deux pôles opposés s’attirent (–) : (+ x – = –).

- En électricité :
Observez les positions des leviers des deux commutateurs qui permettent d’allumer et d’éteindre une ampoule électrique fixée au dessus d’un escalier. Allumez l’ampoule (+) et identifiez la position actuelle du levier de chaque commutateur par un (+). Identifier la position opposée de chaque levier par un (–). Vous verrez que lorsque les deux leviers sont en position (+), l’ampoule s’allume (+) et que lorsque les deux leviers sont en position (–), l’ampoule s’allume aussi. Par contre, si un levier est en position (+) et l’autre en position (–), l’ampoule reste éteinte (–).

- En calcul (J’allais oublier !) :
Nous savons que 9 x 9 = 81 et que 10 – 1 = 9. D’où (10 – 1) x (10 – 1) = 81. Si nous effectuons la multiplication sur (10 – 1) x (10 – 1) nous devons faire :
10 x 10 = +100
10 x –1 = –10
–1 x 10 = –10
–1 x –1 = +1
(10 – 1) x (10 –1) = 100 – 10 – 10 + 1 = 81

Les mathématiques décrivent et s’adaptent à notre environnement. Si notre environnement change, les mathématiques doivent changer.  Surprenant ? Pas vraiment ! Au Moyen Âge, les échanges étaient limités. Les unités de mesure, par exemple, n’avaient pas à être universelles. Ainsi, la livre était une mesure de poids dont la valeur variait selon qu’elle était utilisée par les orfèvres, par les apothicaires ou sur le marché public. Au Moyen Âge, elle variait aussi d’une ville à une autre. Avec les échanges internationaux, il a été nécessaire d’abandonner la mesure de poids et de la remplacer par une mesure de masse, le kilogramme.

La mesure de masse possède un premier avantage sur la mesure de poids, c’est qu’elle ne varie pas selon l’endroit où nous sommes sur la Terre ou sur la Lune. Ce n’est pas le cas pour la mesure de poids qui dépend non seulement de l’endroit où l’on se trouve mais de l’usage qu’on en fait.

Au Moyen Âge, la Terre était plate, enfin c’est ce que la majorité des gens pensaient et, pour eux, la géométrie plane était satisfaisante. Vous avez lu Le Petit Prince d’Antoine de Saint-Exupéry. Pour celui-ci, installé sur sa minuscule planète, une géométrie plane n’aurait que peu d’utilité. Pour lui, une géométrie sphérique devient essentielle. Quelles différences cela fait-il ? Il y en a plusieurs. En géométrie sphérique, si vous tracez un triangle, la somme de ses angles sera supérieure à 180 degrés. Essayez sur un globe terrestre. Partez du Pôle Nord et joignez l’Équateur par deux traits différents. Ces traits formeront deux angles de 90 degrés avec l’Équateur. Le triangle formé par l’Équateur et par ces deux traits joints au Pôle aura des angles dont la somme sera forcément plus grande que 180 degrés. Pilotes de long courrier, prenez-en note.

Bref, les mathématiques sont d’abord et avant tout un système d’analyse de notre monde. Si les mathématiques sont logiques ou cohérentes, c’est simplement parce qu’elles reflètent l’ordre de la nature.

La semaine prochaine : les mathématiques réduites à un langage.

Robert Lyons