Abstraction et manipulation
 

Dans Mathadore 140, nous avons parlé du test du crayon. Ce test fait ressortir diverses façons d’apprendre, lesquelles ne sont pas toujours favorisées à l’école.

Récemment, nous avons proposé à des enseignants de secondaire I et II (élèves de 12 ou 13 ans ), diverses activités visant l’apprentissage des entiers relatifs et des fractions. Ces activités commençaient toujours par un problème concret et réaliste. À l’aide de matériel simple, les élèves devaient d’abord résoudre le problème initial présenté avec des mots de tous les jours. Les solutions découvertes par les élèves étaient ensuite dessinées au tableau. Essentiellement, il s’agissait de dessiner ce qui avait été réalisé avec le matériel.

Cette première étape réussie, c’est au moyen des termes et symboles mathématiques que les problèmes suivants étaient posés. Bien sûr, il fallait alors établir les liens entre les données et les questions de ces nouveaux problèmes et celles des problèmes précédents.

Quelques enseignantes et enseignants ayant expérimenté ces activités ont remarqué que les élèves faibles et les élèves moyens semblent les réussir et les apprécier plus que les élèves forts qui préfèrent souvent se réfugier dans leurs travaux symboliques, se disant mal à l’aise avec le matériel. D’ailleurs, certains de ces élèves ne savent tout simplement pas quoi faire avec le matériel.

Nous croyons généralement que l’élève qui manipule les symboles avec aise et qui réussit bien dans les travaux écrits, manifeste un plus grand degré d’abstraction. Et, comme les mathématiques sont abstraites, nous encourageons ce type de travail et d’apprentissage.

Mais, à quoi sert-il de manipuler les calculs symboliques beaucoup moins rapidement qu’un ordinateur, si, comme lui, nous ne savons pas à quoi servent ces symboles, si nous ne savons pas comment les associer à des problèmes concrets différents des problèmes vus en classe ?

Les mathématiques visent d’abord et avant tout la compréhension de notre environnement et non la manipulation de symboles arbitraires et conventionnels. Il semble bien que le schéma qui décrit l’enseignement des mathématiques tel un processus permettant de passer du concret à l’abstrait par le biais d’une étape semi-concrète constitue une erreur didactique. Une erreur par laquelle la représentation symbolique a été confondue avec la pensée abstraite. Le schéma qui suit semble plus approprié.

Ce schéma  représente une activité mathématique complète. Dans un premier temps, l’enseignant pose un problème concret ( C ), à la fois bien réel et bien senti par l’élève, un problème à résoudre avec du matériel.  L’élève qui résout ce problème pense, il manifeste sa capacité à abstraire.

L’étape suivante permet le passage du travail concret ( C ) à la représentation imagée ( I ) et, par la suite, inversement, il consiste à partir d’une représentation imagée et de lui associer une situation concrète. Ces associations, entre les représentations concrètes et imagées, sont aussi des abstractions. Elles ne causent que très rarement des difficultés.

La phase suivante correspond à établir des liens entre le symbolisme ( S ) et le travail concret ( C ) ou le travail imagé ( I ). Cette phase est la plus délicate et, chose surprenante, ce sont les élèves déjà à l’aise avec le symbolisme qui éprouvent souvent le plus de difficultés à réussir les abstractions qui permettent de lier le symbolisme aux manifestations concrètes et imagées. En fait, ces élèves, qui ont du succès avec leur façon de faire, surtout symbolique, résistent à s’aventurer dans une autre façon d’apprendre. Pour les autres, dont les résultats sont plus faibles, ils ne demandent pas mieux que de s’y prendre autrement.

Combien de fois, dans ma carrière ai-je rencontré des élèves qui étaient en difficulté à l’école et qui sont devenus par la suite des travailleurs compétents ? Et il y a aussi les autres, d’anciens premiers de classe qui ne réussissaient pas facilement dans le monde du travail. Est-ce parce que le monde du travail est davantage accroché à l’environnement concret qu’aux jeux symboliques scolaires ?

En terminant, mes travaux avec des élèves en difficulté ont révélé que ce sont les liens qui unissent le symbolique au concret et à l’imagé qui causent le plus de problèmes. Le travail strictement concret, de même que le travail strictement symbolique présentent moins de difficultés. Les problèmes d’applications ne sont-ils pas moins réussis que les simples calculs ? Beaucoup d’adultes réussissent à effectuer une division telle 1$ ÷ ½ lorsqu’ils pensent qu’il faut inverser la seconde fraction avant de multiplier, mais au moment de noter le résultât, c’est-à-dire 2$, ils hésitent et ne comprennent pas comment 1$ ÷ ½ = 2$ peut représenter une situation courante. À quoi sert alors de connaître cette procédure symbolique si nous ne comprenons pas son utilité ou, simplement, ce qu’elle exprime ?

Robert Lyons