Du général au particulier
 

Mathadore 130 évoquait comment les programmes de mathématiques, en demandant d’abord l’étude d’applications non généralisables, préparent les difficultés d’apprentissage les plus nombreuses et les plus persistantes. De plus, les séquences utilisées conduisent à une perte de sens donc à une compréhension de plus en plus faible.

En effet, apprendre que la multiplication est une addition répétée confère au départ un certain sens à la multiplication, un sens indélébile dans l’esprit de l’élève, une «compréhension» qui lui  nuira  plus  tard  au  moment  d’aborder  des  multiplications telles  ½ x ½ = ¼ ou encore   (-3) x (-4) = 12.

La difficulté, pour qui rédige un programme, réside dans le fait qu’on ne peut apprendre un concept sans une concrétisation simple, sans un exemple, sans l’étude de cas particuliers. Idéalement, il faudrait trouver un cas particulier qui puisse se transformer en un schéma ou en une image mentale capable d’illustrer toutes les applications de ce concept. Par la suite, ces applications seraient étudiées et associées au schéma général. En agissant ainsi, le sens premier du concept s’en trouverait renforcé avec l’étude de chaque nouvelle application.

Cet idéal est certes à notre portée, du moins pour les concepts où la perte de sens est la plus évidente, c’est-à-dire les fonctions arithmétiques et l’égalité. Il existe en effet trois applications bien connues qui permettent d’illustrer adéquatement l’égalité, la fonction additive ( addition-soustraction) et la fonction multiplicative (multiplication-division).

Commençons par l’égalité. Elle exprime une identité qui est habituellement notée de deux façons différentes. La balance à plateaux illustre bien l’égalité et l’inégalité. Ce ne sont pas les mêmes objets qui sont dans les plateaux mais, si ceux-ci sont en équilibre, la masse de ces objets est identique. Sous les notations «vingt», «20», «XX», «4 x 5» ou « 30 – 10 » se cache une quantité identique que l’égalité peut exprimer.

Prenons une égalité simple : 3 + 2 = 5.

Cette égalité exprime que la somme de 3 et de 2 est identique à 5, mais elle exprime aussi que la différence entre 3 et 5 est 2 ou encore que la différence entre 2 et 5 est 3. Pour cette raison, 3 + 2 = 5 peut être transformée en 3 = 5 – 2 ou en 5 – 3 = 2, entre autres. Toutes ces égalités expriment que les nombres 2, 3 et 5 sont liés entre elles d’une certaine façon, par un lien dit   « additif ». Si nous voyons dans 3 + 2 = 5 le fait qu’ajouter 2 à 3 conduit à obtenir 5, nous comprenons en même temps qu’en enlevant 2 à 5, nous obtenons 3.

Dans le problème «J’avais 5 pommes, j’en mange 3, combien ai-je de pommes maintenant ?», l’élève doit certes trouver 2 pommes comme réponse. S’il doit l’exprimer au moyen d’une égalité, les égalités 5 – 3 = 2, 5 – 2 = 3 et même 
3 + 2 = 5 sont toutes aussi valables. C’est lorsque nous confinons l’égalité au sens d’une histoire que nous rejetons les deux dernières qui ne sont pas fidèles à l’histoire du problème mais qui respectent le sens réel de l’égalité et qui expriment correctement les liens qui unissent les nombres 2, 3 et 5.

Laisser croire aux élèves que l’égalité représente une histoire les conduit à rédiger des  «égalités» telle 3 + 2 = 5 + 1 = 6 ( J’avais 3 billes, j’en ai trouvé 2, donc j’en avais alors 5. Puis j’en ai trouvé une autre, donc j’en ai maintenant 6.) et à rejeter l’égalité 3 + 2 = 4 + 1 puisque 3 + 2 n’est pas égal à 4, mais à 5. Bref, cette vision restrictive de l’égalité, qui consiste à croire qu’à gauche du signe = on écrit l’histoire et à droite, le résultat, prépare à de nombreuses difficultés qui se manifesteront lorsqu’en algèbre, l’élève devra transformer x + 5 = 8 en 8 – 5 = x. Est-ce que j’en avais x et que j’en ai ajouté 5 ou est-ce que j’en avais 8 et que j’en ai enlevé 5 ? Quelle histoire choisir ? Est-ce le même problème ?

En français, l’identité s’exprime par le verbe être. Cela signifie que l’égalité peut être interprétée avec le verbe être. Prenons 3 x 2 = 6. Nous pouvons en tirer diverses conclusions :
- 6 est le double de 3 ou 3 est la moitié de 6 ;
- 6 est le triple de 2 ou 2 est le tiers de 6 ;
- 6 est le produit de 2 et 3.

Les égalités 6 ÷ 3 = 2 et 6 ÷ 2 = 3 peuvent aussi être interprétées de la même façon relevant que les nombres 2, 3 et 6 sont liés par la fonction multiplicative. Toutes ces égalités sont équivalentes de la même façon que les expressions mentionnées précédemment ont le même sens, ce sont des expressions synonymes.

À la lumière de cette perception de l’égalité, interprétons certaines égalités.

a) 6$ ÷ 3 = 2$ : 6$ est le triple de 2$ ( Préférable à 6$ partagés en 3 est égal à 2$ - sens de partage.).
b) 6$ ÷ 2$ = 3 : 6$ est le triple de 2$ ( Préférable à il y a 3 fois 2$ dans 6$ - sens de mesure.).
c) 1$ ÷ ½ = 2$ : 1$ est la moitié de 2$ ( 1$ partagé en ½ est égal à 2$ ! ?).
d) 6$ ÷ (-1) = -6$ : posséder 6$ est l’opposé de devoir 6$ ( 6$ partagés en «moins 1» est égal à –6$ ! ?).
e) 6m² ÷ 3m = 2m : 6m² est l’aire d’un rectangle de 2m sur 3m ( 6m² partagés en 3 mètres parties donneraient 2 mètres par partie ! ? ou encore il y a 3 mètres fois 2 mètres dans 6m² ! ?).

Voir dans l’égalité une identité permet d’interpréter toutes les égalités et les inégalités. De plus, cela permet de comprendre les procédures qui transforment une égalité ou une équation en une égalité ou une équation équivalente. Ainsi, les équations 3 + x = 5 et 5 – 3 = x expriment toutes deux que x est la différence entre 3 et 5. Elles sont donc strictement équivalentes et nous sommes justifiés de remplacer l’une par l’autre selon nos besoins.

Mathadore 134 vous présentera une façon d’illustrer la fonction multiplicative, façon qui peut servir à construire une image mentale générale s’appliquant à toutes les multiplications et à toutes les divisions.

Robert Lyons