Interprétation de phrases mathématiques

Récemment, une enseignante du secondaire me signalait que plusieurs élèves interprètent les phrases mathématiques comme des histoires, d’un côté du signe d’égalité on décrit ce qui a été fait et de l’autre ce qui a été obtenu. C’est en effet un problème que l’on remarque et qui fausse le sens de l’égalité. Certains élèves en tirent d’ailleurs la conclusion que 5 + 1 = 6 + 2 = 8 constitue une phrase mathématique correcte en mentionnant : « J’avais 5 items et j’en ajoute 1 donc j’en ai maintenant 6. Ensuite, j’en ajoute encore 2 et j’en obtiens 8. » Cela est évidemment inacceptable.

Un autre problème, plus répandu celui-là se pose lorsque l’élève doit rédiger une phrase mathématique qui illustre sa solution à un problème. Prenons le problème : 
«Julie avait 8 pommes, elle en a mangé 3. Combien a-t-elle de pommes maintenant ?»

Certes l’égalité 8 – 3 = 5, sans pommes, est correcte, mais l’égalité 3 + 5 = 8 est aussi acceptable. Ces deux égalités illustrent que la différence entre 3 et 8 est 5. En effet, 3 + 5 = 8 montre bien que 3 n’est pas égal à 8, mais que 3 + 5 l’est.

N’accepter que l’égalité 8 – 3 = 5 en guise de solution à ce problème montre bien que nous insistons pour que l’élève interprète l’égalité comme une histoire. C’est une erreur qui enlève beaucoup de souplesse au sens même de l’égalité.

Depuis l’avènement de la théorie des ensembles, cette erreur a été encouragée par l’apparition des fameuses machines à fonctions. Ces machines, assez particulières, illustrent effectivement les égalités comme étant la représentation d’histoires.

Une égalité est en réalité un outil qui montre qu’une même quantité peut être notée de deux façons différentes : 5 = 4 + 1 ; 9 = 32… Toutes les discussions visant à clarifier si 3 x 4 signifie qu’il faut faire 3 paquets de 4 ( 3 fois 4 ) ou 4 paquets de 3
( 3 multiplié par 4 ) sont vaines et inutiles. En effet, 3 x 4 représente le nombre 12 sans présumer d’un quelconque arrangement. D’ailleurs, avez-vous remarqué que, dans une douzaine d’œufs,  il n’y a pas un paquet de 10 œufs distinct d’un paquet de 2 œufs et ce, même si la boîte indique 12 œufs, c’est-à-dire 1 dizaine et 2 unités?

La meilleure représentation concrète de l’égalité est la balance à plateaux. En utilisant cette image mentale, il est possible de comprendre et d’interpréter toutes les égalités, ce qui ne signifie pas cependant qu’il soit toujours possible de concrétiser ces égalités au moyen de masses situées sur les plateaux de la balance. En effet, l’égalité 
sin30° = 0,5 ou l’égalité   entre autres, ne peuvent être concrétisées au moyen d’une balance. L’idée reste cependant la même, de chaque côté on symbolise le même nombre.

Voici comment il serait préférable d’interpréter les égalités où figure le symbole « + » ou le symbole « - ». Prenons 3 + 4 = 7, 4 + 3 = 7, 7 = 4 + 3, 7 = 3 + 4, 7 – 3 = 4, 
7 – 4 = 3, 3 = 7 – 4 et 4 = 7 – 3. Toutes ces égalités évoquent le même lien entre les nombres 3, 4, et 7.

Ce lien peut être énoncé de différentes façons : 7 est la somme de 3 et de 4 ou 3 est la différence entre 7 et 4… Chacune des huit égalités figurant plus haut peut être interprétée correctement au moyen de ces deux énoncés. 

Voici d’autres égalités et des énoncés évocateurs :

- 4 x 3 = 12 ; 3 x 4 = 12 ; 12 ÷ 3 = 4 ; 12 ÷ 4 = 3. 
( Interprétation : 12 est le triple de 4. )

- 6 $ x 2 = 12 $ ; 2 x 6 $ = 12 $ ; 12 $ ÷ 2 = 6 $ ; 12 $ ÷ 6 $ = 2 . 
( Interprétations : 12 $ est le double de 6 $ ou 6 $ est la moitié de 12 $ .)

- 12 $ x ½ = 6 $ ; ½ x 12 $ = 6 $ ; 6 $ ÷ ½ = 12 $ ; 6 $ ÷ 12 $ = ½ . 
( Interprétations : 6 $ est la moitié de 12 $ ou 12 $ est le double de 6 $. )

Hum, si 6 $ ÷ ½ = 12 $ et 6 $ x 2 = 12 $ peuvent être interprétées de la même façon, il devient plus facile de comprendre pourquoi 6 $ ÷ ½ = 6 $ x 2 .

- 6 $ ÷ (-1) = -6 $ ; 6 $ ÷ (-6 $) = -1 ; 6 $ x (-1) = -6 $ ; (-1) x 6 $ = -6 $. 
( Interprétation : 6 $ est l’opposé de –6 $. )
 

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À bientôt,

Robert Lyons