ATTENTION – Ne manquez par Mathadore 122 qui s’intitulera 
« Confiez-moi l’enseignement du calcul dans votre classe ». Je proposerai de vous guider dans cet enseignement l’année prochaine en vous fournissant un guide gratuit et un support selon vos besoins.

                              Réponse à un appel à l’aide

Salut Robert, 
Je suis un peu découragée et j'aurais besoin de tes conseils. Je viens de changer de groupe-classe. Je suis rendue en secondaire 2. Nous sommes en train de voir l'algèbre et les élèves ne comprennent pas comment résoudre des équations du genre : 
5x + 4 - 3x - 7x + 15 - 4 ... où il faut trouver la valeur de x. 
J'ai beau leur expliquer de n'importe quelle manière, on dirait que ça ne leur rentre pas dans la tête. Ils arrivent à faire ceci: 
5x + 4 - 3x - 7x - 15 - 2 = -12x + - x - 4 + 7 
5x - 3x - 7x + 12x + x = -4 + 7 - 4 + 15 + 2 
8 x = 16 
Mais ensuite, ils ne comprennent pas pourquoi il faut diviser par 8 de chaque côté pour obtenir la valeur du x seulement. C'est complètement fou, ils n'y comprennent rien du tout. Déjà, ça a tout pris pour qu'ils comprennent les raisons pour lesquelles on change le signe des chiffres lorsqu'on les change de côté... Ouffff j'ai le sentiment que je suis pas sortie du bois avec eux. Ils me regardaient comme si j'arrivais d'une autre planète. 

Voilà un problème à la portée des élèves de 7 ou 8 ans mais qui cause tant de difficultés aux élèves de 13 et 14 ans.  À 7 ou 8 ans, cette équation ne veut rien dire. À 13 ans, c’est le signal qui conduit à appuyer sur le bouton de panique. Pour les uns comme pour les autres, il faut concrétiser cette équation. Avec les élèves de 7 ou 8 ans, l’équation peut être écrite sans grand risque, ils ne savent pas que c’est censé être difficile. Pour eux, c’est simplement nouveau. Avec les élèves de 13 ou 14 ans, il faut cacher l’équation car l’algèbre, les lettres, quelqu’un leur a dit que c’était difficile, mystérieux, incompréhensible. Que faire ?

Pour les uns comme pour les autres, on présentera le problème comme illustrant le travail effectué dans une manufacture durant deux jours. À gauche du signe « = » nous devrions avoir le rapport de ce qui s’est fait le lundi et à droite, nous devrions avoir le rapport de ce qui s’est fait le mardi. « Devrions » car il y a eu des erreurs. Heureusement, des vérifications ont été effectuées. Si un symbole « - » a été placé devant un nombre, c’est pour signaler qu’il représente des objets qui ont été construits pendant l’autre journée, qu’il y a erreur, qu’il faut donc placer ce nombre de l’autre côté du signe « = ». Par contre, les signes « + » précèdent une information correcte, c’est comme dire «Fiez-vous à ce qui suit.».

Dans un premier temps, replaçons chaque nombre du «bon» côté de l’égalité.

                         
 
Remarque au sujet de « +-x ) : D’abord, il serait préférable de noter +(-x), c’est plus clair. Comment traiter ce +(-x) ou ce +-x. Le + signifie «Ce qui suit est fiable.», ici, nous pouvons même l’enlever. Nous nous retrouvons alors avec –x, lequel indique une erreur. Le x doit changer de côté. Nous avons donc obtenu : 

                           .

Maintenant, mentionnons aux élèves que les nombres seuls représentent le nombre d’objets fabriqués ce jour-là : + 4 ou simplement 4 représente par exemple 4 chaises. Alors que les nombres formés de chiffres et de lettres indiquent un nombre de boîtes de chaises déjà emballées. Il faut savoir que tous ces paquets contiennent le même nombre de chaises. Ainsi 5x signifie 5 boîtes contenant chacune x chaises. x est un nombre secret qu’il faudra découvrir. Il faut aussi savoir qu’il y a eu le même nombre de chaises de fabriquées chaque jour, d’où le symbole = entre les deux «rapports».

Donc, nous avions   que nous allons simplifier en regroupant les boîtes et les chaises non emballées pour chacun des deux jours. Nous obtenons    .

Nous pouvons éliminer des quantités identiques de chaque côté du signe d’égalité, une boîte de moins chaque jour ne modifie pas l’égalité. Nous obtenons  . 
Et si les boîtes contiennent le même nombre de chaises, il faut qu’il y ait 2 chaises par boîte pour qu’un nombre égal de chaises aient été fabriquées le lundi et le mardi.

Quels « secrets » doivent connaître les élèves afin de résoudre cette équation ?

1. Elle doit être associée à une première image mentale simple, par exemple : la 
    fabrication d’objets durant deux journées distinctes.
2. L’équation représente les rapports de ce qui a été produit.
3. Il y a eu des erreurs dans les rapports, mais celles-ci ont été indiquées par le 
    signe « - » qui signifie que ces objets ont été fabriqués l’autre jour. Ainsi –5 à 
    droite devrait être 5 ou +5 à gauche et inversement.
4. Les x représentent des boîtes d’objets fabriqués déjà emballés.
5. Dans chaque x, il y a toujours le même nombre d’objets.
6. On a fabriqué exactement le même nombre d’objets le lundi et le mardi.
7. Il faut trouver le nombre d’objets qui se cachent dans chacune des boîtes.

Si vous enseignez à des élèves de 13 ou 14 ans, remplacez le x par un « ? » dessiné dans un carré. Vous pouvez faire la même chose avec les élèves de 7 ou 8 ans, mais c’est moins nécessaire, l’algèbre ne leur faisant pas peur.

Robert Lyons