(-3) x (-4) = + 12, pourquoi ?
 

Peu d’adultes sont en mesure de donner des exemples tirés du quotidien où s’applique la loi des signes en mathématiques (Voir Mathadore  vol2num64.html  pour de tels exemples.). Pour les rares personnes qui en sont capables, les exemples donnés sont non numériques, c’est-à-dire qu’elles peuvent montrer des applications du fait que ( - ) x ( - ) = ( + ), mais non de (-3) x (-4) = (+12).

Voici une activité très simple qui permet aux élèves de huit ans et plus de découvrir la loi des signes.

Présentez la figure suivante :

Note : Omettez les lettres a, b, c et d insérées dans la figure pour faciliter la présentation qui suit.

Faites remarquer que les cases à l’intersection des rangées et colonnes représentent le produit des nombres situés à gauche et en haut. Exemple : Dans la case (a) on retrouve le produit de 10 par 10, donc 100.

Ajoutez les signes + pour obtenir 10 + 2 en haut et 10 + 4 à gauche. 

Montrez que (10 + 2) x (10 + 4) = 168 et que la somme des nombres situés en a, b, c et d est de 168 (100 + 40 + 20 + 8 = 168).

Remplacez 10 + 2 par 10 – 2 et calculez le produit de (10 + 4) x (10 – 2) 
donc : 14 x 8 = 112. 

Demandez aux élèves d’essayer d’obtenir 112 en utilisant une fois seulement chacun des nombres 100, 40, 20 et 8 et les opérations d’addition et de soustraction. Solution : 100 + 40 – 20 – 8 = 112. Inscrivez dans les cases a, b, c et d le symbole + devant les nombres 100 et 40 et le symbole – devant les nombres 20 et 8. Conservez ce tableau sans le commenter.

Procédez de la même façon avec (10 + 2) x (10 - 4) donc 12 x 6 = 72.

Il vous reste à modifier le tableau pour illustrer le produit (10 – 4) x (10 – 2) 
donc 6 x 8 = 48.

Laissez les élèves découvrir qu’il faudra effectuer 100 – 40 – 20 + 8 pour obtenir 48.

Vous avez donc obtenu les quatre tableaux suivants :

                 14 x 12 = 168                                         14 x 8 = 112

                                             
                     6 x 12 = 72                                            6 x 8 = 48

En observant ces divers tableaux, les élèves constateront rapidement qu’il existe quatre possibilités lorsque les signes + et – sont multipliés entre eux. Il leur sera aussi facile de constater les produits obtenus lorsque ces signes sont multipliés entre eux. Vous pouvez leur proposer de vérifier avec d’autres problèmes semblables.

La loi des signes n’est pas une convention, mais un ensemble cohérent de quatre règles découlant des opérations arithmétiques. Cette cohérence est relativement simple à découvrir à partir de problèmes très simples dans lesquels les élèves effectuent des additions, des soustractions et des multiplications prévues dans les programmes qui s’adressent aux élèves de huit ans et plus.
 

Robert Lyons