Logique ou analogique ?

Mathadore 115 vous proposait deux problèmes :

1. Imaginons qu’une ficelle fasse le tour de la planète en longeant parfaitement l’Équateur. Cette ficelle est installée de sorte qu’il n’y a aucun espace entre elle et la planète. Coupons cette ficelle, ajoutons-lui une longueur de 6 mètres et répartissons également cette longueur de sorte que la distance entre la ficelle et la planète soit constante. Quelle est la distance constante qui sépare alors la ficelle de la planète ?

Pour  vous  éviter  des  recherches,  sachez  qu’à l’Équateur,  la  circonférence  de la planète est  d’environ 40 076 km et que, si vous prenez le nombre 3 comme équivalent à ¶ (Pi), votre réponse sera acceptable.

2. Cent cinquante (150) joueurs se présentent à un tournoi de tennis pour jouer en simple (un contre un). Selon la règle du tournoi, un joueur continue à jouer tant qu’il gagne ses parties. Et, en conséquence, dès qu’un joueur perd une partie, il est éliminé. Combien faudra-t-il de parties dans ce tournoi pour que soit déterminé le champion ?

Si, pour résoudre le premier problème, vous avez travaillé comme Troublefête, le champion de la logique, vous avez calculé la longueur du rayon de la planète en partant d’une circonférence de 40 076 km. Puis, vous avez ajouté 6 mètres à cette circonférence avant de calculer le nouveau rayon de la planète. Et vous avez été surpris par la réponse. Peut-être avez-vous alors décidé de réviser vos calculs. Et ensuite, en y pensant bien, vous avez compris que cette réponse avait du sens. Peut-être que vous avez ajouté : « C’est vrai, je n’y avais pas pensé ! »

Le second problème vous a peut-être conduit à un comportement logique, donc analytique. Un comportement où vous avez construit progressivement votre solution en vous assurant de respecter les données du problème.

Comme Troublefête, vous avez d’abord considéré que soixante-quinze ( 75 ) parties allaient être jouées, puisqu’il y a cent cinquante ( 150 ) joueurs qui s’affrontent un contre un. À l’étape suivante, un obstacle peut-être imprévu : il y a soixante-quinze joueurs donc il y en a un de trop. Voilà un nouveau problème, un détail, que Caboche ne rencontrera pas au moment de résoudre correctement le problème. Mais, pour Troublefête, même les fleurs du tapis constituent des obstacles.

Bon, vous avez décidé de faire passer son tour à un joueur et avez continué votre démarche de résolution. Si vous n’avez pas fait d’erreurs, vous avez obtenu la bonne réponse. Puis, en réfléchissant à cette réponse, peut-être avez-vous accédé au processus de résolution que Caboche a choisi dès le début.

Reprenons les mêmes problèmes d’un point de vue analogique. Avant de nous lancer dans une solution, essayons de prendre nos distances face à ce problème particulier et considérons la relation qui existe entre une circonférence et son rayon. Comme le diamètre est environ trois fois plus court que la circonférence, le rayon sera environ six fois plus court que la même circonférence. Alors, le fait d’ajouter six (6) mètres à la circonférence ajoute automatiquement un mètre au rayon. C’est surprenant, mais comme c’est la même relation, et par conséquent la même formule, avec les petits cercles et les grands cercles, la conclusion est incontournable.

Et s’il faut le démontrer, il est toujours possible d’adopter le comportement logique de Troublefête tel que décrit précédemment. Mais, pour les vrai(e)s Caboche, c’est inutile.

Passons au second problème. 

Que fait Caboche pendant que Troublefête transpire ? Il s’amuse ! Fidèle à son habitude, Caboche prend ses distances par rapport aux réflexes qui plongent trop rapidement Troublefête dans l’action. En fait Caboche voit le problème autrement et trouve une solution qui lui permet de résoudre tous les problèmes du même genre… instantanément. Caboche se dit que chaque partie jouée permet d’éliminer exactement un joueur et, puisque cent cinquante ( 150 ) joueurs se sont présentés au tournoi, il faut en éliminer cent quarante-neuf ( 149 ). Donc il faudra jouer cent quarante-neuf ( 149 ) parties.

Il existe un comportement qui peut être attribué parfois à Troublefête et parfois à Caboche. Il s’agit de proposer de faire jouer un joueur contre chacun des autres, un après l’autre. Si ce joueur perd, le gagnant le remplace, ce qui ne change rien au nombre de parties à jouer. Donc il faudra jouer 149 parties pour éliminer chacun des 149 autres joueurs.

Ce comportement est de type Troublefête lorsque la personne qui l’adopte ne connaît pas le fonctionnement habituel d’un tournoi. Il est alors très lié aux données du problème et montre que son auteur se préoccupe des diverses étapes du tournoi. Il est analytique, c’est le cas le plus fréquent. Par contre, il est du type Caboche lorsque la personne qui l’adopte connaît le processus habituel d’élimination utilisé dans les tournois, mais évite de se laisser influencer par cette  procédure.

Gauss était un grand mathématicien et l’on raconte l’anecdote suivante à son sujet. Alors qu’il fréquentait l’école, l’enseignant de sa classe devant s’absenter quelques minutes donna le problème suivant à ses élèves : « Trouvez la somme des cent premiers nombres. » Tout le monde se mit au travail et l’enseignant sortit de sa classe pour revenir deux ou trois minutes plus tard vérifier si tous ses élèves étaient au travail. C’était le cas, sauf pour Gauss qui se tournait les pouces.

L’enseignant le remarqua et lui demanda pourquoi il ne cherchait pas à résoudre le problème donné. Gauss lui répondit qu’il avait déjà terminé. Alors que les élèves de la classe s’acharnaient à additionner 1 + 2 + 3 + 4 + … 100, comme Troublefête le ferait, Gauss s’était comporté comme Caboche, il avait considéré d’abord le type de problèmes plutôt que ce problème particulier. Gauss avait observé que, dans une suite semblable,  en additionnant  le premier nombre  au dernier  ( ici 1 + 100 ), puis le second  à l’avant-dernier 
( ici 2 + 99 ), il obtenait toujours la même somme. Or, puisque, dans cette suite, il y a cent nombres à additionner, il y aura cinquante couples de nombres dont la somme sera 101 (1 + 100 = 2 + 99 =… = 101). Il suffit donc de multiplier 50 par 101 pour obtenir 5050, la somme recherchée.

Les comportements de type Caboche sont peu présents chez les adultes et plus les études se poursuivent, plus les élèves deviennent Troublefête.Faut-il s’en surprendre ? Pas vraiment puisque tous les manuels d’enseignement des mathématiques proposent l’adoption de démarches de résolution de problèmes qui sont analytiques. La phase d’évocation est omise. L’élève est invité à se concentrer sur les données du problème qu’il a devant lui et sur celui-là seulement.

Si les manuels proposaient d’abord une phase d’évocation, de créativité, une phase où l’on tente de comprendre vraiment le problème indépendamment de ses données, l’école ne formerait-elle pas plus de Caboche ?

Robert Lyons