Comprendre et imaginer

Une stratégie très utilisée en classe au moment de résoudre des problèmes est l’essai-erreur. Essayons ! Trouvez deux nombres tels que leur somme est 10 et que leur produit est 16. Trop facile ? D’accord ! Alors trouvez deux nombres tels que leur somme est 200 et leur produit 9856. Plus difficile cette fois, mais avec de la patience… Essayez maintenant de trouver deux nombres dont la somme est 10 et le produit 26. Cette fois, même si les nombres sont petits et même si la réponse existe, l’essai-erreur ne vous mènera nulle part.

Tentons une autre stratégie : comprendre grâce à une image mentale. Dans les Mathadore précédents, nous avons maintes fois associé la multiplication au rectangle. Dans le premier problème, il s’agissait donc de trouver la largeur et la longueur d’un rectangle dont l’aire est 16, de sorte que la somme de sa hauteur et de sa largeur soit 10. Oublions que nous connaissons la réponse et traçons un rectangle qui répond aux conditions du problème.

La largeur du rectangle est donc 5 + x et sa hauteur est de 5 – x. Nous sommes ainsi assurés que la somme sera 10 car 5 + x + 5 – x = 10. Les deux seules régions du rectangle qui nous intéressent sont celle dont l’aire est 25 et celle dont l’aire est –9. Ce « –9 » est nécessaire pour que l’aire totale du rectangle soit égale à 16,  car : 
25 + 5x – 5x – 9 = 16.  Les régions ayant pour aire 5x et –5x s’annulent. Nous savons aussi que la région dont l’aire est –9 est un carré,  le carré –x².  Donc 
x = 3 d’où la largeur du rectangle est 5 + x = 5 +3 = 8 et sa hauteur est
5 – x = 5 – 3 = 2. Les nombres recherchés sont donc 8 et 2. Bon, une aire de –9, c’est un peu bizarre, mais avec un peu d’imagination …

D’accord, c’est un peu long pour trouver une réponse évidente, mais ce modèle nous aidera à solutionner le second problème où la somme des deux nombres est 200 et leur produit 9856. Le rectangle devient alors :

Encore une fois, la section qui nous intéresse le plus est celle du bas à droite dont la valeur provient de 9856 – 10 000 =  –144. Or –144 = –x² d’où x = 12. La largeur est donc 100 + x = 100 + 12 = 112 et la hauteur est 100 – x = 100 – 12 = 88. Beaucoup plus rapide que l’essai-erreur !

Et maintenant, que nous possédons un modèle permettant de comprendre, mettons-le à l’épreuve en plongeant dans le domaine de l’imaginaire. Le troisième problème demandait de trouver deux nombres tels que leur somme soit 10 et leur produit 26. Vivement un rectangle !

Encore une fois,  la région importante est en bas à droite.  Sa valeur est de +1 
d’où  –x² = 1  et x² =  –1 OUPS ! Il faut donc trouver la racine carrée de –1 ou un nombre qui multiplié par lui-même donne –1. Pas très réel tout ça ! Bon, si la réalité ne nous aide pas, plongeons dans l’imaginaire. Imaginons un nombre qui corresponde à la racine carrée de –1, un nombre qui multiplié par lui-même donne –1. Comme nous devons avoir recours à notre imagination, en son honneur, appelons le nombre recherché « nombre imaginaire » et, symbolisons-le par la lettre i. Convenons que
 i x i = –1 ou que i² = –1. En conséquence, – i² = 1. Si (+ i) x (+ i) = –1 alors 
(+ i) x (– i) = +1.

Et si nous revenons à notre rectangle où (+x) x (-x) = +1, nous constatons que x = i et obtenons comme largeur 5 + i et comme hauteur 5 – i. La somme est bien 10 car : 5 + i + 5 – i = 10 et le rectangle illustre le produit :

    5 + i
x  5 – i 
  25 + 5i
       – 5i – i²
  25        – i²

Comme i² = –1, – i² = + 1, nous obtenons 25 + 1 = 26.

Nos nombres sont donc 5 + i et 5 – i. Il s’agit de nombres dits « complexes » dont une partie est imaginaire. Et, croyez-le ou non, en mathématiques, le nombre imaginaire rend de grands services au moment de solutionner certains problèmes bien concrets.

Et voilà comment la compréhension et l’imagination peuvent se compléter au moment de résoudre un bon problème. L’essai-erreur ? Trop limité !

Robert Lyons
 
 

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