La division grâce au rectangle

Plusieurs d’entre vous me demandent comment aborder la division avec le rectangle afin d’éviter les définitions et applications restreintes que sont le partage et la mesure. Alors, voici !

Prenez les plaques, les bandes et les cubes du matériel de base dix. Mentionnez aux élèves que ce matériel va servir à recouvrir des planchers. Chaque fois, les planchers seront rectangulaires et leur largeur sera connue. Il faudra trouver la longueur du plancher que le matériel peut recouvrir. Évitez de parler de centaines, de dizaines et d’unités en désignant le matériel. Parlez plutôt de plaques, de bandes et de cubes.

a) Sur des feuilles de papier, tracez deux parallèles d’au moins 25 cm et une verticale de 13 cm comme suit :

Voilà trois des murs qui entourent le plancher à recouvrir. En partant de la gauche, il faut tout recouvrir avec le matériel remis soit 2 plaques, 7 bandes et 3 cubes. Voici ce qui peut être obtenu : 

 
      La disposition illustrée est la plus pratique, sans être la seule. De toute façon, la longueur recouverte du plancher    sera égale à la longueur de deux fois le côté de la plaque et d’une fois celle du cube. Proposez ensuite les problèmes suivants.

b) Avec 1 plaque, 6 bandes et 9 cubes, recouvrir un plancher de 13 cm de largeur 
    ( C’est un carré, mais ne le dites pas ! )
c) Avec 2 plaques, 8 bandes et 8 cubes, recouvrir un plancher de 24 cm de largeur.
d) Avec 2 plaques, 9 bandes et 4 cubes, recouvrir un plancher de 14 cm de largeur.

Lorsque vos élèves auront bien compris ce qu’il faut faire, vous pourrez introduire le langage mathématique qui désigne ce qu’ils viennent de construire. Selon votre degré d’enseignement, ce langage change, mais ce qu’il désigne reste identique. Voici des égalités qui représentent les quatre division effectuées.

a) 273 ÷13 = 21
 ou 2,73 ÷ 1,3 = 2,1
 ou (2x2 +7x +3) ÷ (x + 3) = (2x + 1)
 ou (2x2 +7xy + 3y2)  ÷ (x+3y) = (2x+y)

Ces égalités sont obtenues dans le premier cas lorsque la plaque représente une centaine, la bande une dizaine et le cube une unité. Dans le second cas, la plaque est une unité, la bande est un dixième et le cube est un centième. Dans le troisième cas, la plaque est x2, la bande est x et le cube est l’unité. Enfin, dans le dernier cas, la plaque est x2, la bande est xy et le cube est y2. Voici, en utilisant les mêmes façons de désigner le matériel, des égalités qui correspondent aux trois autres divisions.

b) 169 ÷13 = 13
 ou 1,69 ÷ 1,3 = 1,3
 ou (x2 +6x +9) ÷ (x + 3) = (x + 3)
 ou (x2 +6xy + 9y2)  ÷ (x+3y) = (x+3y)

c) 288 ÷24 = 12
 ou 2,88 ÷ 2,4 = 1,2
 ou (2x2 +8x +8) ÷ (2x + 4) = (x + 2)
 ou (2x2 +8xy + 8y2)  ÷ (2x+4y) = (x+2y)

d) 294 ÷14 = 21
 ou 2,94 ÷ 1,4 = 2,1
 ou (2x2 +9x +4) ÷ (x + 4) = (2x + 1)
 ou (2x2 +9xy + 4y2)  ÷ (x+4y) = (2x+y)

Tous les cas précédents n’exigent aucune transformation de centaines en dizaines ou de dizaines en unités, par exemple, ce qui rend le travail à effectuer avec les entiers, avec les décimales et avec les expressions algébriques strictement équivalent.

Mathadore 70 vous présentera des cas où il faut faire de telles transformations. Vous verrez que c’est beaucoup plus simple en algèbre.

En terminant, toutes les activités précédentes, incluant la rédaction des égalités mentionnées, peuvent être réalisées sans difficulté avec les élèves de huit ans. Par contre, si nous n’enseignons que le langage mathématique, sans l’associer aux illustrations concrètes qu’il représente, les divisions sur les entiers ne seront vues que vers l’âge de 9 ans, celles sur les décimaux vers l’âge de 11 ans et celles sur les expressions algébriques vers l’âge de 15 ans. Six longues années d’apprentissage pour passer du premier système symbolique au quatrième et ce, sans réussir à comprendre que, chaque fois, nous évoquons la même réalité. Et il y en a qui prétendent que les programmes sont trop chargés, que nous allons trop rapidement…

Joyeuses Fêtes !

Robert Lyons