Diviser c'est...
 

Il semble que rien ne soit plus difficile que de prédire… l’avenir. Et pourtant, lors de l’implantation d’un nouveau programme, il serait fort utile d’en prédire les résultats chez les élèves. Par ailleurs, il semble que le passé soit garant du futur et que des programmes semblables produisent des résultats similaires. Alors, consultons le passé pour nous informer sur le futur.

À ce jour, les programmes de mathématiques amorcent l’enseignement de la division en la présentant comme un partage ou comme une mesure. La division-partage permet de comprendre que 10 mètres ÷5 = 2 mètres. La division-mesure justifie que 10 mètres ÷ 5 mètres = 2. Sur le plan purement technique, si nous oublions la nature des unités en présence, la division est souvent vue telle une soustraction répétée. Ainsi, pour solutionner 12 ÷ 3, il est possible de trouver 4 en soustrayant exactement quatre fois le nombre 3 de 12, obtenant ainsi zéro comme réponse à la quatrième soustraction : 12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0.

Si nous tentons de coller un sens à cette soustraction répétée, nous ne pouvons y associer que le sens de mesure ou de contenance. Ainsi, 12 mètres ÷ 3 mètres calculé en effectuant 12 m – 3 m – 3 m – 3 m – 3 m = 0 a du sens. Par contre 
12 mètres ÷ 3 = 4 mètres ne peut être traduit par 12 m – 3 – 3 – 3 – 3 = 0.

Bref, c’est sous les aspects de partage ou de mesure que la division est traditionnellement présentée aux élèves. Quel en est le résultat ? Le partage constitue une image mentale tellement forte, parce que correspondant à de nombreuses situations quotidiennes, que pour la quasi totalité des élèves et des adultes, diviser c’est, d’abord et avant tout, partager. Et si le partage ne s’applique pas, associer la division à la mesure suit presque automatiquement.

Mais qu’en est-il lorsque diviser ne peut être associé ni au partage, ni à la mesure ? Essayez de comprendre que :

3 mètres ÷ 0,25 = 12 mètres ou 3 mètres ÷ 1/4 = 12 mètres
Les égalités précédentes illustrent certes les joies du partage…

Et que penser de :

12 ÷ (-3) = (-4) ?

Et puis il y a 4xy ÷ x = 4y qui s’avère difficile, comme pour les cas précédents, à interpréter comme un partage ou une mesure. Comment dans ce cas traduire la division au moyen de la soustraction répétée ?

Comment se fait-il que tant d’élèves se retrouvent en difficulté au moment d’apprendre la multiplication et la division sur les fractions où ½ x ½ = ¼ ?  S’agit-il d’une addition répétée ou d’un ensemble de paquets égaux ? Et que penser de
x ÷ 1/2 = 2x ? Partage ? Mesure ? Soustraction répétée ?  Comment se fait-il que de nouvelles difficultés apparaissent avec l’apprentissage des opérations sur les entiers relatifs où (-3) x (-4) = (+12) ? Est-ce une addition répétée : 
(-3) + (-3) + (-3) + … = (+12) ?  Qu’en est-il de (+6) ÷ (-2) = (-3) ? Le partage de 6 $ entre « moins deux » amis sans doute ! Ou la mesure du nombre de « dettes de 2$ » que j’ai lorsque je possède 6 $ ! Et par soustraction répétée, comment obtenir –3 ? En effectuant : ( +6) – (-2) = (+8), (+8) – (-2) = (+10)…? C’est vraiment mal parti ! 

Comment le nouveau programme (page 135) présente-t-il la division ? Une soustraction répétée, un partage et une contenance (une mesure pour le commun des mortels). Et pour la multiplication ? Une addition répétée, un produit cartésien (Ouf ! Un produit cartésien est un ensemble d’éléments et non le cardinal de cet ensemble. Faut-il rappeler qu’un « produit » est le résultat d’une multiplication ? Les auteurs du programme se sont égarés ici…) et le programme ajoute « etc. ». Bref, le nouveau programme présente la multiplication telle une addition répétée, le « produit cartésien» étant une erreur, et le « etc. » peu précis.

Il est aussi intéressant de constater que c’est dans la section « Nombres naturels » que les sens précédents sont attribués à la multiplication et à la division. Lorsque le programme mentionne le sens des opérations dans la section « Nombres décimaux » il se contente (page 135) de noter : « Sens des opérations : multiplication et division ». Et dans la section portant sur les « Fractions » on retrouve « Sens des opérations (à l’aide d’un matériel concret et de schémas) : addition, soustraction et multiplication par un nombre naturel ».

Hum! On dirait qu’en abordant les nombres décimaux et les fractions, les opérations n’ont plus le même sens à moins… qu’elles n’aient tout simplement plus de sens ? Et pourtant !

Bref, le nouveau programme reconduit les mêmes analogies relatives à la multiplication et à la division que les programmes précédents. Peut-on espérer que les élèves, qui le vivront, comprendront mieux les opérations sur les fractions et les entiers relatifs et qu’ils les généraliseront mieux en algèbre ?

Chères lectrices et chers lecteurs de Mathadore, peut-être qualifierez-vous d’obsession l’analogie à laquelle nous tenons et que nous mentionnons régulièrement entre la multiplication et l’aire du rectangle, mais cette analogie fonctionne aussi avec la division, la racine carrée et la factorisation. Elle permet d’illustrer les multiplications et les divisions sur tous les types de nombres. Alors pourquoi ne pas lui donner une place prépondérante ? Pourquoi servir à nouveau des analogies d’exceptions telles l’addition répétée, le partage, la mesure ? Nous connaissons depuis des années les dommages résultant de ces associations restrictives que chacun peut constater dans sa compréhension des opérations sur les fractions, sur les entiers relatifs,…

En guise de conclusion, le nouveau programme propose, de façon exclusive, des analogies qui conduisent à des échecs bien connus. Ces analogies continueront à nuire surtout à l’apprentissage de la division sur les fractions d’abord, sur les entiers relatifs ensuite et enfin sur les expressions algébriques. Et dire que depuis au moins vingt ans cela est connu et que la solution a été trouvée et validée auprès de dizaines de milliers d’élèves. Malheureusement, au ministère de l’Éducation du Québec, la validation d’un programme et, par la suite d’un matériel d’enseignement, consiste en une activité strictement spéculative où l’essentiel se réduit à vérifier si le vocabulaire prôné par le MEQ est utilisé, ad nauseam.
 

Robert Lyons