L’algorithme de multiplication
 

Contrairement à une idée répandue, la multiplication n’a pas été inventée pour additionner plus rapidement. Si tel était le cas, nous nous retrouverions vite avec une infinité d’exceptions. En fait la multiplication est apparue pour décrire des rectangles. Ainsi le terme « facteur » qui signifie « celui qui fait » désigne les côtés du rectangle et, en même temps, des nombres qui sont dits « facteurs » d’un produit donné.

La multiplication vue comme une représentation de rectangles nous aide à comprendre l’algorithme de multiplication.

   26                      26
x 34                   x 34
   24                   104
   80                   780
 180                   884
 600
 884

Le produit 26 x 34 est trouvé en effectuant quatre multiplications lesquelles désignent respectivement quatre régions du rectangle mesurant 26 par 34.

Avec des nombres à virgule nous obtenons :

   2,6                     2,6
x 3,4                  x 3,4 
   0,24                1,04
   0,80                7,80
   1,80                8,84
   6,00
   8,84

Il y a un lien de parenté assez évident ! Essayons maintenant avec les expressions algébriques.

   2x + 6y
x 3x + 4y
         24y2
     8xy
    18xy
6x2                     .
6x2 +26xy +24y2
 

Ce qui ressemble beaucoup à 6 centaines + 26 dizaines + 24 unités ou 884.
 Et avec les négatifs ? Illustrons 14 x 26 sous la forme ( 20 – 6 ) ( 30 – 4 ).

   20 -  6
x 30  -  4 
   + 24
   -  80
   -180
  +600
    364

Parions que 14 x 26 = 364 !

Et les fractions ? Essayons avec 

 

En fait, il y a un rectangle mesurant 3 x 2 = 6 qui est superposé à un autre rectangle mesurant 4 x 5 = 20.

Puisque, grâce au rectangle, il est facile de comprendre au moins un algorithme pour tous les types de nombres, pourquoi ne pas associer fortement la multiplication ( ainsi que la division, la factorisation et même l’extraction de la racine carrée ) au rectangle et ce, tout au long de la scolarité ? Cette association ne comporte pas les exceptions auxquelles on se heurte en définissant la multiplication comme une addition répétée.

Si vous observez les quatre premières illustrations, vous constaterez qu’elles sont identiques, seuls les symboles qui les désignent sont modifiés. Actuellement, nous enseignons d’abord la multiplication sur un type de nombres, pour passer ensuite à un autre type et ainsi de suite. Chaque fois, les élèves ont l’impression qu’ils apprennent une nouvelle façon de multiplier, un nouveau sens de la multiplication. À ce sujet, les programmes n’aident pas car, effectivement, on y retrouve habituellement le développement du sens de la multiplication dès le début pour les nombres naturels. Le même sujet apparaît pour les fractions, pour les décimales… S’agit-il du même sens ou de sens différents ? Si c’est le même, pourquoi le ramener sans cesse comme visée de l’apprentissage ?

Est-ce possible qu’actuellement nous apprenions aux élèves à combiner divers symboles servant à effectuer des multiplications diverses sans qu’ils sachent ce que ces divers algorithmes symbolisent et sans constater qu’il s’agit toujours du même algorithme ?

Savent-ils que les rectangles aiment courir l’Halloween et que leurs déguisements passent des naturels aux rationnels aux relatifs et à l’algèbre ? Est-ce possible que nous leur fournissions seulement les costumes et qu’ils doivent deviner ce qui se cachent derrière ?

Joyeux Halloween ! 

Robert Lyons