Souvenirs de voyages.

Varennes,
le 27 mai 2001.
 

Partie de presque rien, l'histoire du dénombrement et de la numération se termine donc avec l'invention du zéro. La boucle se trouve ainsi bouclée. N'est-ce pas un dénouement étonnant et aussi imprévisible que les meilleurs suspens hollywoodiens, quand on sait que le zéro est souvent le premier nombre présenté dans plusieurs manuels d'enseignement des mathématiques destinés aux petits ?

Pour conclure cette série d'articles, il serait approprié de dresser le bilan de ces voyages dans le temps et dans l'espace que nous vous avons proposés : une aventure de 45 000 ans parsemée de tâtonnements hésitants et d'intuitions géniales se déroulant aux quatre coins de la planète et qui nous force à réaliser que le développement du concept de nombre n'appartient à aucun peuple en particulier, mais à toute notre espèce. Cet incroyable cheminement est beaucoup plus qu'une saga de l'Homo sapiens; c'est aussi, et surtout, un voyage à l'intérieur de notre cerveau révélant comme un livre ouvert notre façon d'apprendre. Si l'on sait tirer les leçons fournies par l'histoire du développement de la pensée numérique, nous ne pourrons que mieux accompagner les enfants dans leur appropriation du nombre et de ses secrets. Des étapes historiques peuvent donc être identifiées comme des repères incontournables de l'apprentissage de nos élèves.

1. Les balbutiements primitifs ou l'acquisition du concept de nombre
 
Voir une série de marques comme un sac à soleils (Mathadore n° 24) évoque les premiers pas. Le jeu de faire comme si permet à l'enfant d'aborder le concept de nombre comme il se doit, par la pensée analogique. Les comptines de dénombrement apprises par coeur et les chiffres mémorisés ne servent souvent qu'à voiler l'absence de cette perception primitive, mais essentielle. Chez l'enfant, l'éveil à une telle perception devient généralement possible entre cinq et six ans.

2. L'énumération ou la recherche d'une échelle d'association commode

 
Quand l'esprit perçoit le nombre par analogie, il peut alors identifier le type d'association le plus commode en fonction du dénombrement à faire. Si le nombre est petit, les doigts peuvent suffire. Sinon, des cailloux ou d'autres menus objets deviennent d'excellents auxiliaires de dénombrement (Mathadore n° 22). Il en est de même des encoches ou des marques sur le sol. Les mots d'une prière (Mathadore n° 26), d'une ritournelle ou d'une chanson peuvent aussi faire l'affaire. À moins d'inventer une chanson spécialement destinée aux comptes : un, deux, trois... Savoir énumérer efficacement est devenu un standard social que tous les parents attendent avec impatience de leur progéniture. Souvent acquise à vide, cette aptitude semble à la portée des enfants dès l'âge de quatre ans. Mais ce n'est qu'avec l'acquisition du concept de nombre qu'elle s'intègre véritablement au bagage mental de résolution de problèmes.

3. Le groupement ou l'art de mettre un peu d'ordre dans ses comptes

La réaction qui pousse Kiko (Mathadore n° 28), l'apprenti-sorcier du tournoi des aspirants, à grouper ses marques pour mieux capter visuellement ses comptes concrets n'est rien d'autre qu'un comportement que nous portons tous en nous. Incapable de dénombrer d'un seul regard plus de quatre objets alignés, l'oeil humain appelle le cerveau à son secours. La réaction est parfaitement naturelle : faisons des groupes pour y voir plus clair ! Les groupes de cinq sont les premiers à s'imposer vu nos limites perceptives. Mais, le regroupement par dix suivra de près, hommage morphologique à nos doigts, les plus fidèles complices du dénombrement humain. D'autres ont préféré le groupement par vingt, considérant que les orteils doivent aussi faire leur part. Mais, peu importe la quantité déterminée, la réaction de grouper s'impose quand quarante ou cinquante reviennent un peu trop souvent dans le décor. C'est vers sept ans, en moyenne, que les élèves savent tirer profit de la stratégie du groupement. On ne parle pas ici d'exécuter une consigne directe, mais bien d'y recourir spontanément, au moment que l'enfant juge opportun.

4. L'héritage du groupement : de l'énumération à la numération

Satisfait de son organisation au moyen du groupement, l'esprit humain va encore devoir puiser dans sa fertile imagination pour alléger sa tâche le jour où, ployant sous le nombre, il lui faut consacrer de trop longues périodes aux comptes. Haboka (Mathadore n° 32), la bouletière au génie incompris, marque un autre passage crucial. Renonçant définitivement à garder l'oeil sur toutes et chacune des unités énumérées, le cerveau recourt à nouveau au jeu de faire comme si, mais à un second niveau. Non seulement lui faut-il désormais voir dans un objet la représentation de quelque chose d'autre, mais encore va-t-il maintenant falloir regarder certains de ces objets comme s'ils représentaient les groupes qui lui ont été si utiles, voire les groupes de groupes et ainsi de suite ! Nous parlons désormais d'une perception du nombre par la numération. Celle des cailloux d'argile de la Mésopotamie est concrète (Mathadore n° 36), celle de l'Égypte est symbolique (Mathadore n° 44) tout comme celle de Sumer, attribuée au rebelle Kalesh (Mathadore n° 38 et aussi Mathadore n° 40), mais toutes celles-ci se situent au niveau de la numération de forme, un mode de représentation des nombres où la forme révèle la valeur. Une aptitude que les jeunes élèves semblent capables de maîtriser vers 7 ou 8 ans.

5. De la numération de forme à la numération de position

Quelques lignes tracées sur le sol, des signes placés un peu plus à gauche ou un peu plus à droite, et voilà tout à coup le moyen de représenter des nombres aux dimensions gigantesques, sans devoir créer des formes ou des signes pour chaque nouveau groupement (Mathadore n° 46). La valeur de position s'impose comme l'ultime libération permettant de représenter les grands nombres avec un minimum de signes. De quel gène provient cette incroyable inspiration ? Dans quel repli cérébral germe cette idée d'une aussi indescriptible fécondité ? Comment des gens aussi différents et culturellement éloignés (Mathadore n° 48) en sont-ils venus à la même conclusion ? À moins que le nombre ne soit au fond qu'un héritage de notre espèce aussi incontournable que le langage. À la différence que les cultures qui le développent nous le livrent sous une forme parfaitement universelle. N'est-il pas bouleversant de constater que la numération de position, fleuron de la pensée numérique humaine apparue au terme de dizaines de milliers d'années de tâtonnements, demeure malgré tout accessible à de jeunes élèves de 8 ans et plus ?

6. Au delà de la perfection, le zéro qui n'est tout de même pas rien...

 
Parlant d'inspiration féconde, comment qualifier celle qui, comme la cerise sur le gâteau, est venue parachever la numération de position pour parfaire à tout jamais notre capacité de représenter les nombres entiers ? Le moine modeste et génial qui a su proposer un signe, pour dire que " rien " n'est désormais plus vide, était-il aussi inconscient que Schriniva (Mathadore n° 50) de l'invraisemblable pérennité de sa contribution ? Quelle autre invention humaine est restée inchangée depuis quinze siècles tout en suscitant encore l'admiration des savants contemporains ? Des articles et des volumes entiers sont encore aujourd'hui écrits pour glorifier sa contribution. Il ne serait absolument pas exagéré de placer le zéro dans la liste des dix plus grandes inventions de l'histoire des sciences. Même si sa nature discrète le prive trop souvent de la reconnaissance qui revient pourtant de plein droit à ce héros modeste, à ce zéro obscur.
 

Michel Lyons

P.S. Cet article est le dernier du volet historique de Mathadore pour l'année scolaire 2000-2001. D'abord merci pour vos bons mots et pour les généreux messages d'appréciation. À la lumière des témoignages reçus, il semble bien qu'il y aura une suite dès septembre prochain. Et si des suggestions vous viennent à l'esprit, n'oubliez pas de nous les adresser d'ici là sachant qu¹un seul clic nous sépare... Bonne fin d'année scolaire et à très bientôt !
 

Réponses aux questions de Mathadore 48

Une coquille s'est glissée dans cette section du dernier Mathadore. Reprise...

3. La cordelette verte utilisée par Huago indiquait une somme, celle des nombres des trois cordelettes qui lui étaient attachées, soit  541  lamas.

Réponses aux questions de Mathadore 50

1. Les nombres notés en gras dans le texte sont : 5002, 8937, 27, 9675, 5002, 52, 502, 520 et 7000.

2. Sur l'abaque à poussière, le moine Bashkarunta a effectué :

3629 + 1373 = 5002

3. L'invention de Schriniva donne véritablement naissance à une numération de position de base dix qui permet non seulement la représentation de tout nombre entier, mais qui offre aussi un support au calcul qui est parfaitement compatible et concordant avec la numération écrite. L'invention du moine donne naissance à notre numération moderne. 
 
La semaine prochaine : dernière parution de l'année scolaire.