Il existe plusieurs techniques permettant d'additionner ou de soustraire des nombres entiers. La multiplication en compte aussi quelques-unes. Par contre en division, malgré de légères modifications touchant la notation, nous utilisons habituellement le même algorithme.

Cette technique est très complexe car elle exige une bonne maîtrise de la soustraction et de la multiplication. Il semble cependant que nous pouvons diminuer les difficultés des élèves en montrant ce qui se cache derrière cette technique de division. 

Prenons la division suivante : 14 355 / 15 . Nous l'effectuons habituellement comme suit :

 

En fait, ce que nous écrivons cache diverses décompositions du nombre 14 355. Progressivement, ces décompositions visent à identifier des multiples de 15. 

Voici comment nous suggérons de justifier cette technique. Certes, au début, les nombres seront plus petits et le diviseur sera inférieur à 10. Gardons cependant, pour mieux voir ce qui se passe, la division 14 355 / 15.

Il faut chercher, pour chaque position, des multiples de 15 qui, additionnés ensemble, donnent 14 355. 
 -Dans 143, il y a 135 centaines ( 9 x 15 ). 
 -Les 8 centaines excédentaires ( 143 - 135 = 8 ) deviennent 80 dizaines. Nous avons donc 85 dizaines en tout. 
 -Or 75 ( 5 x 15 ) est un multiple de 15, ce qui donne 10 dizaines excédentaires 
   ( 85 - 75 = 10 ). 
 -Ces 10 dizaines deviennent 100 unités auxquelles nous ajoutons les 5 unités 
    restantes. 
 -Or 105 est un multiple de 15 ( 7 x 15 ). 

Notons ce qui vient d’être décrit afin de mieux comprendre. 

Il est maintenant facile de diviser 135 centaines, puis 75 dizaines et enfin 105 unités par 15. Nous obtenons 9 centaines + 5 dizaines + 7 unités, donc 957. Comparons cette division à la division habituelle. 

Dans la division de droite, si nous enlevons les nombres écrits en rouge, qui ne sont que des répétitions des nombres 135, 75 et 5, nous obtenons la forme de gauche, laquelle constitue un condensé de la décomposition en colonnes inscrite à droite. 

Cette décomposition en colonnes permet de comprendre que ce qui a été fait dans les deux divisions constitue une recherche d'une décomposition de 14 355 qui permette de diviser facilement par 15 à chaque position. Est-ce évident pour les élèves, avec la représentation de gauche ? Qui de nous a déjà pensé retrouver les nombres à diviser, ici 14 355, dans les calculs placés sous lui ? 

Un dernier mot, si vous devez effectuer cette division par écrit, évitez de le faire tel que décrit précédemment. Commencez par penser ! En agissant ainsi, vous devriez d’abord simplifier 14 355 / 15 et obtenir 4785 / 5 ( en divisant par 3, dividende et diviseur ). Il vous restera à effectuer 4785 / 5, mais, ne le faites pas, réfléchissez ! Vous pouvez transformer 4785 / 5 en 9570 / 10 (en multipliant par 2 le dividende 4785 et le diviseur 5 ). Il vous reste à diviser par 10. 

Non seulement diviser par 3 puis multiplier par 2 est-il plus rapide que de diviser par 15, mais cela comporte moins de chances d’erreurs. 

Finalement, penser avant de calculer constitue toujours la meilleure technique. 
 

Robert Lyons 
 
 

La semaine prochaine : Notaires, de mère... en fils !
 

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