Les fous des nombres.

Crotone,
Grande Grèce (Italie du Sud),
VIe siècle av. J.-C.

Dans sa modeste cellule, allongé sur une simple paillasse posée sur le sol et les yeux grands ouverts dans une noirceur d'encre, le jeune Théodore attend la première lueur du jour. À l'Académie, l'horaire est strict et rigoureux : lever dès le point du jour et déjeuner frugal tout en assistant à un entretien philosophique par l'un des maîtres éminents. Les membres de la secte pythagoricienne ne sont tous réunis que durant cette heure matinale, sans toutefois échanger entre eux la moindre parole. L'horaire du reste de la journée dépend de leur rang dans la hiérarchie.

Entré à l'école depuis à peine un mois, Théodore fait partie d'un groupe de cinq novices encore passablement ignorants du fonctionnement de la maison. Après l'entretien, les novices assistent à des cours allant de la musique aux sciences naturelles, en passant par la philosophie sans oublier les mathématiques, évidemment !

À chaque jour, six heures de travaux communautaires permettent de donner à la secte une autonomie complète : culture de la terre, élevage de chèvres, ateliers de tissage, de menuiserie... Les Pythagoriciens font leur fromage et leur pain et pressent les olives pour en extraire l'huile. Tous ces produits font l'objet d'un lucratif commerce qui permet l'indispensable indépendance requise pour consacrer son existence à la connaissance.

La veille, Théodore avait assisté à son premier cours d'arithmétique. L'idée d'étudier les nombres lui avait d'abord paru saugrenue. Son père, ingénieur et astronome réputé, lui avait surtout appris l'amour des sciences naturelles et de la philosophie. Une solide éducation lui avait ouvert les portes de l'Académie. Il avait impressionné les maître-recruteurs par ses connaissances et par sa personnalité curieuse et perspicace.

Mais, les nombres ? Ne sont ils pas les monotones instruments du commerce et de la mesure ? Quand le maître d'arithmétique avait amorcé son cours d'initiation, Théodore avait eu l'impression d'entendre un illuminé : « Dieu a organisé l'univers au moyen des nombres. Dieu est l'unité et le monde est la pluralité. Le un est le géniteur : tous les autres nombres lui doivent leur existence. L'élévation de votre esprit jusqu'à l'Union Suprême dépend de votre aptitude à comprendre les rapports numériques harmonieux dans tout ce qui existe. Tout Pythagoricien est follement épris des nombres, car tout est nombre ! »

Les cinq novices assis, à même le sol, devant l'orateur enflammé n'osaient plus croiser son regard. Le maître indifférent avait alors plongé la main sous sa tunique et, d'un geste théâtral, jeté une poignée de cailloux au sol : « Que pouvez-vous dire de ces cailloux ? » avait-il ensuite ajouté.  Le silence qui avait suivi et l'évident étonnement qui se lisait sur les visages des auditeurs n'avait nullement ralenti l'élan du maître :  « Un nombre a une réalité physique. Il occupe de l'espace. On peut sentir sa présence et ses effets sont palpables. Il y a neuf cailloux. Neuf est impair : voyez comment un alignement sur deux rangs laisse un caillou isolé. Mais ce n'est pas tout ! Il est carré, ne voyez-vous pas qu'il est carré ? »

Brisant le silence des novices, Théodore était intervenu pour amorcer un bref dialogue avec le pythagoricien : 
« Tous ces cailloux sont bien ronds, ils ont été polis par l'eau du ruisseau. Qu'ils soient neuf ou dix, ne seront-ils pas ronds de toute façon ?» avait-il proposé respectueusement.

« Tu les regardes avec tes yeux. Ouvre donc ton esprit ! Lui aussi peut voir le monde et te guider.»   lui avait répliqué le maître dans le langage sibyllin propre aux maîtres de l'Académie.

« Et s'ils étaient dix, maître ?» 

« Dix est triangulaire. Imagines-tu comment le un peut rendre triangle ce qui était carré ?» 

Plongé dans ses pensées, Théodore s'était instinctivement levé et, après avoir ramassé les cailloux éparpillés, il les avait lentement disposés sur trois rangs de trois : « Je le vois. Neuf est bien carré. » Galien, son voisin de gauche, s'était alors à son tour emparé des cailloux pour les disposer autrement : un sur le premier rang, deux sur le deuxième, trois sur le troisième et trois autres sur le quatrième : « Le dixième en fera un triangle » s'était contenté d'ajouter le novice Galien.

Hippias s'était alors joint à la discussion : « Mais un carré, quand on le coupe en deux, devient double triangle. Neuf est impair, est-il possible de... » Lui aussi emporté par ses pensées, il s'était approché et, reformant le carré à neuf éléments, avait permis au groupe de constater que ce carré se compose effectivement du triangle à six éléments complété par le triangle à trois cailloux.

La discussion qui avait suivi s'était vite animée. Une suite de nombres carrés avaient été identifiés : un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq... Archytas avait rapidement réalisé que l'écart entre les nombres carrés consécutifs correspondait aux nombres impairs. Et, à chaque fois, il était possible de constater qu'un carré pouvait être divisé en deux nombres triangulaires consécutifs : « Comment être certains qu'il en sera toujours ainsi ?»  avait finalement questionné Théodore, sans que la réponse ne vienne.

Puis, les nombres triangulaires avaient à leur tour été alignés : un, trois, six, dix, quinze... Toujours intéressé aux écarts entre les nombres successifs, Archytas avait souligné qu'on retrouvait dans ce cas la suite des nombres à partir de deux. « Il ne manque que le un, le géniteur... » avait-il ajouté, songeur.

Avant d'intervenir, le maître s'était longtemps contenté de regarder ses talentueux élèves qui semblaient avoir oublié sa présence : « Le carré de quatre rangs est seize. Le carré de cinq est vingt-cinq. Il est facile de continuer cette suite, puisqu'il n'y a qu'à multiplier le nombre de rangs par lui-même : six fois six, trente-six, sept fois sept, quarante-neuf... Et que dire du carré de cent ? Qu'il est cent fois cent. Alors dix mille est un nombre carré. Mais les triangles eux, sont bien plus difficiles à décrire. »

Théétète s'était étonné de cet énoncé : « Ne suffit-il pas d'additionner un, deux, trois et quatre pour obtenir le triangle dix, et de même pour tous les autres qui suivent ? » Pour la première fois, un mince sourire s'était dessiné sur les lèvres du maître. Son regard compréhensif s'était posé sur Théétète : « Pour les comptables de la Cité, additionner de longues suites de nombres est un art suffisant et satisfaisant. Pour le mathématicien, ce travail est indigne. Imagine qu'il te faille dénombrer un nombre triangulaire dont la base compte dix cailloux, ou pire, imagine s'il y en avait cent : un, plus deux, plus trois, plus... Indigne d'un mathématicien, outrageux pour un Pythagoricien ! » La leçon s'était achevée sur cette sentence mystérieuse et sans appel. L'heure des travaux communautaires avait sonné et le petit groupe de novices s'était aussitôt rendu besogner aux champs. Théodore n'avait pu s'empêcher de faire une bonne provision de petits cailloux et de les glisser dans un repli de sa tunique.

Et dans le silence de la nuit qui s'achève, il saisit tout à coup ce que le maître avait voulu dire. Bondissant comme un fauve, il s'empare de ses cailloux et sous la première lueur du jour, il les dispose sur le sol de manière à former un triangle de dix, puis un deuxième qui lui est identique, mais en position inversée. Réunissant les deux formes, il obtient un rectangle. Satisfait, il murmure alors : « Bien ! Voici donc vingt, le rectangle formé de quatre rangs de cinq. »

Ce jour-là, quand le maître voulut relancer la question laissée en suspens la veille, Théodore répondit : « Donnez-moi le nombre de cailloux de la base d'un triangle et je vous en donnerai le nombre total. Il suffit de multiplier le nombre de la base par... »

Quand son explication fut complétée, tous les novices comprirent la différence entre un comptable et un mathématicien. Et le maître sut que Théodore deviendrait un grand Pythagoricien, un véritable fou des nombres.

Questions :
1. Complétez l'énoncé final de Théodore à propos du nombre triangulaire dont la base est donnée. En termes modernes, cela revient à établir la formule permettant de déterminer le nième nombre triangulaire : Tn = n x ...
2. En écrivant la suite des nombres carrés, on constate, comme Archytas, que cette suite fait apparaître une nouvelle suite, celle des différences entre deux nombres carrés successifs :

Les carrés : 1, 4, 9, 16, 25...
Les différences : 3, 5, 7, 9...

Pour que le nombre impair 1 apparaisse dans la suite des différences, il aurait fallu que les Pythagoriciens modifient la suite des carrés. Comment ? Et pourquoi ne l'ont-ils pas fait ?

Réponses aux questions de Mathadore 32 :
1. Pour représenter 45 jours de travail, Hoboka utilise 4 boules et 5 petits boudins (soit 4 dizaines et 5 unités) auxquels elle ajoute un tétraèdre, jeton qui symbolise une journée de travail.
2. Le système de Hoboka permet de remplacer 45 tétraèdres par seulement 10 jetons, soit une économie de 35 jetons !

Michel Lyons

La semaine prochaine : Les fractions: Pourquoi tant de difficultés ?

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