L'erreur la plus fréquente, que l'on retrouve en calcul sur les entiers, apparaît dans une soustraction telle 35 - 19. Plusieurs manuels montrent qu'il faut enseigner aux élèves que 5 - 9 est impossible. D'ailleurs, les élèves doivent mémoriser les tables où x - y est toujours positif. Ils apprennent donc que 7 - 4 = 3, mais pas que 4 - 7 = -3. Et pourtant, même à l'âge de cinq ans, l'enfant distingue une situation où il lui reste un élément d'une autre où il lui en manque un. Exprimer ce surplus par +1, ou simplement par 1, et ce manque par -1 est facile à comprendre.

Tellement facile en fait que, sans que les nombres négatifs n'aient été étudiés, les élèves les utilisent parfois pour nous surprendre. Permettez que je vous raconte deux anecdotes.

La première se situe à Iberville, près de Montréal, à la fin des années soixante-dix. On m'avait demandé d'évaluer une fillette de sept ans qui éprouvait des difficultés en soustraction. Durant la séance d'évaluation, je lui demande d'effectuer 15 - 7 en écrivant les nombres en ligne comme précédemment. Voici ce qu'elle fit et ses explications.

• 15 - 7 = 10, car dans 15 il y a une dizaine et il n'y en a pas dans 7 alors une dizaine moins zéro dizaine égale dix.
• 15 - 7 = 10 - 2, car il y a 5 unités dans 15 et 7 dans 7 donc 5 - 7 = -2.

Elle conclut que 15 - 7 = 10 - 2.

Je lui demande ce que donne 10 - 2 et elle répond 8 en ajoutant que 15 - 7 = 8.

Une dizaine d'années plus tard, lors d'un atelier donné à Moncton, N.B., et après avoir raconté l'anecdote qui précède, un enseignant de la Nouvelle-Écosse, qui assistait à l'atelier, vint me voir. Il enseignait à des élèves de sept ans et avait constaté qu'une de ses élèves soustrayait en utilisant les négatifs. Voici sa technique.

Soit la soustraction 543 - 168 posé verticalement, le nombre 168 étant placé sous 543. Elle procède de gauche à droite comme suit :

• D'abord 5 - 1 = 4 et elle inscrit 4 sous le 1 de 168.
• Ensuite 6 - 4 = 2 et elle inscrit 2 au-dessus du 4 de 543. 
• Ensuite 8 - 3 = 5 et le 5 est écrit au-dessus du 3 de 543. 
• Puis elle calcule mentalement qu'il lui faut enlever 2 dizaines de 4 centaines et note 38 sur une nouvelle ligne, le 3 sous le 4 déjà calculé pour les centaines et le 8 sous le 6 de 168.
• Enfin, elle calcule qu'il faut enlever 5 unités à 380 et obtient 375.

Génial !

2 5 543 -168

4 38 375

Le nouveau programme du Québec demande de consacrer un cycle complet, donc deux années de scolarité, aux techniques personnelles développées par les élèves avant d'aborder, au cycle suivant, les techniques conventionnelles. C'est une excellente décision ! Il ne faudrait pas en conclure cependant que les techniques personnelles sont de moindre valeur que les techniques conventionnelles. En fait, les techniques conventionnelles en addition et en soustraction procèdent habituellement de droite à gauche. Pourtant, les techniques naturelles procèdent surtout de gauche à droite et sont, règle générale, supérieures aux techniques conventionnelles.

Il y a un avantage didactique énorme à permettre aux élèves d'inventer des techniques de calcul plutôt qu'à les leur enseigner. L'élève qui invente une technique démontre sa compréhension alors que celui qui en apprend une, qui lui est transmise, démontre souvent seulement qu'il a une bonne mémoire.

De plus, une technique, même si elle n'est inventée que par un seul élève, correspond mieux au degré de développement de cet élève et des autres élèves du même âge que les techniques conventionnelles mises au point par des mathématiciens adultes. L'élève comprendra donc habituellement plus facilement une technique développée par un autre élève de son âge qu'une technique conventionnelle. Enfin, l'invention de techniques naturelles par les élèves est chose commune.

Je termine en mentionnant que les symboles " + " et " - " apparaissent pour la première fois sous la plume de Robert Recorde en 1489 pour désigner un surplus et un manque. Ce n'est que 25 ans plus tard, soit en 1514, qu'ils seront utilisés pour la première fois pour exprimer respectivement une addition et une soustraction.

L'ordre historique de développement des mathématiques constitue un élément précieux au moment de décider de l'ordre des apprentissages.

Robert Lyons