Le Triangle des Bermudes

Plusieurs questions, qui me sont adressées par les lecteurs de Mathadore, portent sur des définitions en géométrie. Celle qui revient le plus souvent concerne la définition du terme « sommet » . On me demande, par exemple, si le cône a un sommet.

Le problème provient du fait qu'il n'y a pas une, mais plusieurs géométries. Or, en passant d'une géométrie à une autre, les définitions doivent souvent être ajustées. Ainsi, un sommet ne se définit pas de la même façon en géométrie plane (où on retrouve les sommets d'un triangle et le sommet d'un faisceau de droites), en géométrie des solides (où le cube possède des sommets alors que la sphère n'en a pas) et en géométrie analytique ( où on a le sommet de la parabole).

En géométrie des figures planes, le sommet est le lieu de rencontre de deux côtés consécutifs d'une figure. Ainsi, un triangle possède trois sommets, mais un cercle n'en a aucun. Toujours en géométrie plane, lorsqu'un ensemble de droites, (on dit un « faisceau »), se croisent en un même point, ce point est appelé sommet du faisceau de droites.

En géométrie des solides, sur un polyèdre, un sommet peut être défini comme le lieu commun à au moins trois des faces de ce solide ou encore le lieu de rencontre d'au moins trois arêtes du polyèdre. Cela ne règle cependant pas le cas du cône. Le sommet du cône est le lieu de rencontre des génératrices du cône. On considère que le cône est généré par un faisceau de segments de droites partant du sommet du cône et se terminant le long d'un cercle qui constitue la seule arête du cône. Pensez à un tipi indien : chaque perche qui tient la toile est une génératrice du cône (ou quasi-cône) que constitue le tipi. Ces perches se rassemblent au sommet du tipi.

Afin d'identifier les sommets d'un solide, on peut aussi trouver les lieux de rencontre d'au moins trois segments de droite tracés sur des faces distinctes de ce solide. Les arêtes étant situées à l'intersection de deux faces du solide, on les considérera comme appartenant à une face plutôt qu'à une autre selon le besoin. Dans le cas du cône, les segments de droites, unissant le sommet du cône à chacun des points de son arête, font partie de plans tangents à la surface du cône et aucun de ces plans n'est parallèle à un autre plan. Donc, nous pouvons dire que le sommet du cône est à l'intersection de trois segments de droites tracés sur des plans distincts.

En ce qui concerne le terme « apex », il s'agit d'un mot latin qui signifie « le point le plus élevé », ce qui correspond, en géométrie, à un sommet particulier et remarquable. C'est certes le cas pour un cône posé sur sa base et c'est le cas pour la pointe d'une pyramide orientée conventionnellement. Dans un triangle, chaque sommet peut être considéré comme l' « apex » par rapport au côté qui lui est opposé..

En géométrie analytique, le sommet de la parabole est le lieu de rencontre de l'axe de la parabole et de sa base.

Dans le dictionnaire Larousse, ainsi que dans les dictionnaires et encyclopédies mathématiques les plus reconnus, le terme « apex » n'est associé, en français, à aucune définition mathématique. Il me semble que ce terme n'est pas nécessaire puisqu'il est directement associé au point le plus élevé d'un objet quelconque, ce qui a peu de sens dès que l'on considère qu'un cône, par exemple, demeure un cône même s'il est couché.

Bref, le sommet est le lieu de rencontre d'un ensemble de droites ou de segments de droite. D'une géométrie à une autre, ces droites ou ces segments de droites ont des rôles variés.

Et le Triangle des Bermudes dans tout cela ? Précisons d'abord que d'un auteur à un autre, l'étendue de ce triangle varie quelque peu. En gros, il s'agit du triangle dont les sommets sont situés près de Miami, sur la côte de la Floride, à Porto Rico et enfin aux Bermudes. Si vous avez un globe terrestre et que vous tracez le triangle qui réunit ces trois points pour ensuite mesurer les angles intérieurs de ce triangle et pour calculer la somme de ces angles, vous trouverez que cette somme est légèrement supérieure à 180 degrés.

Mais il y a mieux ! Le Canada est borné à l'Ouest par le méridien de longitude 140 degrés et à l'est par le méridien de longitude 50 degrés. Ces deux axes se rejoignent au Pôle nord en formant entre eux un angle de 90 degrés ( 140 degrés - 50 degrés ). Au sud, le 40e parallèle relie ces lignes de longitude en enfermant ainsi le Canada dans un grand triangle. Mais, chacune des lignes de longitude croise le 40e parallèle en formant avec lui un angle de près de 90 degrés. Le Canada est donc inséré dans un triangle dont la somme des angles intérieurs est d'environ 270 degrés ( 3 x 90 degrés ) !

En fait, il y a plusieurs géométries et si, en géométrie plane, la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours de 180 degrés, en géométrie sphérique, cette somme est toujours supérieure à 180 degrés. Elle avoisine 180 degrés pour les très petits triangles, ceux des quasi-surfaces planes, et atteint près de 540 degrés pour les triangles qui ressemblent à un tour complet de la Terre. Enfin, à l'intérieur d'une sphère, c'est le phénomène inverse : la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours inférieure à 180 degrés.

Bref, en géométrie, la plupart des définitions sont relatives, ce qui devrait nous inciter à ne rien enseigner en dehors de son contexte.

Robert Lyons