Il y a quelques années, disons trois ans, mais j'oublie peut-être un zéro, puisque zéro c'est rien, j'enseignais en sixième année. Un jour, après avoir demandé à mes élèves de calculer le quotient de 350 par 20, un élève me donne comme réponse 17 reste 1. Je lui signale qu'il y a une erreur. Il se reprend, revient avec la même réponse, avoue qu'il ne comprend pas comment le reste peut être différent de ce qu'il a trouvé.

Plutôt que de lui demander de me montrer comment il a procédé, tel que j'aurais dû le faire, je lui explique ma technique et lui montre que la réponse est 17 reste 10.

Il me dit qu'il ne divise pas comme moi - je m'en doutais ! - et me montre sa méthode. Voici le dialogue qui prit place alors :

- Élève : D'abord, j'enlève les zéros à 350 et à 20. Est-ce que j'ai le droit ?

- R.L. : Oui, ça c'est correct !

- Élève : Bon, maintenant, il me reste à diviser 35 par 2 au lieu de 350 par 20.

- R.L. : D'accord.

- Élève : 35 divisé par 2, j'obtiens 17 reste 1.

- R.L. : !!!

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Nous avons tous appris que 10/4 = 5/2 d'une part et, d'autre part, que 10 divisé par 4 égale 2 reste 2 alors que 5 divisé par 2 égale 2 reste 1. Puisque 10 divisé par 4 égale 5 divisé par 2 il nous faut conclure que 2 reste 2 égale 2 reste 1. Et si nous pensons que 10 divisé par 4 égale 100 divisé par 40 alors 10 divisé par 4 peut être aussi égal à 2 reste 20... C'est la multiplication des pains !

En fait, les règles qui régissent l'écriture des phrases mathématiques sont ici bafouées. Ces règles ne sont pas arbitraires, elles s'inscrivent dans un ensemble cohérent. Lorsqu'elles ne sont pas respectées, des contradictions et des problèmes en résultent.

Dans une phrase mathématique, nous pouvons utiliser des symboles qui représentent des quantités ( 5, 3 dizaines, 4 mètres, 6x, ... ), des opérations ( +, -, x, ... ) des relations ( =, <, ... ), des symboles qui montrent qu'il existe une priorité d'opération, mais pas de pommes, pas de reste, pas de pictogrammes.

Si 3 mètres + 2 mètres = 5 mètres est acceptable, 3 pommes + 2 pommes = 5 pommes ne l'est pas. Les pommes ne sont pas des unités mathématiques alors que les mètres le sont. Quelle différence ? Demandez-vous s'il est possible de faire plus de compotes avec deux pommes qu'avec trois pommes. C'est impossible de le savoir car les pommes ne sont pas toutes de même grosseur. Une unité mathématique est constante, les mètres ne sont pas élastiques.

Dans un volume qui traite de rééducation, l'auteure présente l'addition en remettant aux élèves d'abord deux objets, puis trois autres. Le problème naît lorsqu'elle tente d'illustrer cela par une phrase mathématique. Elle dessine les objets pour obtenir quelque chose comme :

* * * + @@ = ***@@

Disons 3 billes + 2 crayons = 3 billes et 2 crayons. Plus loin, dans le même volume, l'auteure mentionne son étonnement lorsqu'elle constate que certains de ses élèves, après tous les exercices concrets et imagés qu'ils ont réalisés, écrivent 3 + 2 = 32. En fait, ce qu'il y a de vraiment surprenant, c'est que certains écrivent, malgré tout, 3 + 2 = 5...

Il est essentiel de manipuler et ce, quel que soit l'âge de l'élève. Il est intéressant de traduire ensuite cette manipulation dans un mode imagé. Enfin, il faut traduire le tout dans le mode symbolique. Si le mode imagé ne constitue qu'un portrait ou même un film des manipulations concrètes, le mode symbolique, lui, est fort différent. Les symboles proviennent de conventions. Certains sont faciles à associer à ce qu'ils représentent, alors que d'autres en sont plus éloignés. Ainsi, les chiffres romains ( I, II, III ) rappellent plus facilement les quantités sous-entendues que les symboles 1, 2 et 3.

Le mode symbolique, bien qu'évoquant le mode concret ou le mode imagé, a donc ses propres règles. D'ailleurs, la difficulté la plus fréquente en mathématiques consiste à associer le concret au symbolique, à savoir ce que toutes ces formules représentent. Et le reste ? En fait, 10 ÷ 4 = 2 1/2 ( ou 2,5 ) respecte toutes les règles des phrases mathématiques. Mais, si nous voulons mettre l'accent sur le fait que 10 n'est pas un multiple de 4, qu'il reste 2, comment faire ?

Il existe un théorème, dit théorème du reste, qui règle le problème. Prenons 11 divisé par 4 comme exemple afin d'éviter toute confusion. Au lieu d'écrire 11 divisé par 4 égale 2 reste 3 qui est incorrect, on peut écrire 11 = 4 x 2 + 3 ou des énoncés équivalents tel 11 - 3 = 4 x 2. Ces énoncés montrent que 11 n'est pas un multiple de 4 alors que 11 - 3 en est un.

Robert Lyons