L’enseignement par projets, surtout lorsqu’il consiste en un enseignement multidisciplinaire et thématique, permet rarement une intégration de mathématiques avancées. Certes, on peut y retrouver des éléments mathématiques courants tels le dénombrement simple, la mesure de longueur, l’étude des formes géométriques courantes,… tous ces éléments que les élèves apprennent régulièrement à l’extérieur de l’école. Cependant, la pertinence des transformations numériques, des opérations sur les fractions, des transformations topologiques, des statistiques et des probabilités sera rarement présente. En fait, s’il est possible et valable d’associer certaines matières dans un même thème, c’est surtout lorsque ces matières visent des compétences de même nature. Ainsi, les langues et les arts développent d’abord l’expression et la communication. De plus, ces matières s’associent bien aux sciences humaines afin de développer la culture générale. 

Bien que les mathématiques utilisent des moyens de communication, leur objet premier est la découverte de propriétés présentes dans l’environnement. La langue que les mathématiques privilégient pour s’exprimer a des caractéristiques fort différentes de celles des langues littéraires. De plus, la culture mathématique découle de la découverte des lois de la nature et non de conventions variant d’un pays à l’autre. Bref, il y a une culture mathématique commune alors que les langues, les arts et les sciences humaines manifestent des cultures diverses. Pour cette raison, les mathématiques sont découvertes, les langues sont inventées. Il n’est donc pas surprenant qu’un projet approprié en langues le soit rarement en mathématiques. Le projet permet aux élèves de saisir le rôle de telle matière scolaire ou de tel aspect de cette matière. Il facilite la motivation, il éveille ou nourrit la curiosité. 

En mathématiques, le projet peut atteindre les mêmes objectifs, mais il y a mieux : le défi et le conflit cognitif. Nous sommes ainsi faits que les défis que nous posent certains problèmes suscitent une volonté de travailler. Les mathématiques et leur apprentissage se nourrissent de tels défis. Parfois, le défi consiste à inventer une solution originale à un problème, parfois il s’agit de résoudre une contradiction qui crée un déséquilibre cognitif, c’est ce qui est appelé un conflit cognitif.

 Bref, il semble qu’il existe au moins deux sortes de projets : ceux qui sont pertinents pour les matières inventées  (langues, arts, sciences humaines)  et  ceux  qui  sont  appropriés  aux matières découvertes (mathématiques et sciences de la nature). Ces projets posent des problèmes de natures différentes et tenter de les fusionner est artificiel. 

Par ailleurs, en mathématiques, certains problèmes sont propices à l’invention des concepts mathématiques alors que d’autres conduisent plutôt à les appliquer. Un problème est dit «d’application» lorsque l’individu peut le résoudre par simple utilisation de ce qu’il connaît. Un problème «d’invention» exige plus qu’un simple transfert, il demande un nouvel arrangement de ce qui est connu. Habituellement les projets qui touchent plusieurs matières ne contiennent que des problèmes mathématiques d’application et permettent rarement à l’élève de construire ses mathématiques. Bref, d’un point de vue constructiviste, le projet n’est pas l’instrument idéal pour l’apprentissage des mathématiques. Ainsi, la trigonométrie a été mise au point afin de permettre de trouver la distance séparant la Terre de diverses étoiles. Aucun moyen n’existait alors afin de résoudre un tel problème. Par la suite, la trigonométrie a été appliquée à des problèmes «terrestres» qui étaient résolus avant sans trigonométrie. Ces derniers problèmes ne nécessitaient pas l’invention de la trigonométrie. Par rapport à la trigonométrie, il s’agit de problèmes d’application.

Il semble de plus en plus évident que la construction d’un programme ou d’un manuel d’enseignement des mathématiques doit découler d’une bonne connaissance de l’histoire des mathématiques.

Robert Lyons

                    Activités pour les 23e et 24e semaines 

Numération 

Au problème 23 du guide, ne vous surprenez pas si vous voyez les élèves trouver d’abord le pourcentage des multiples de 1$. Il est en effet facile de trouver 7% de 3$ en faisant : 7 X 3 = 21 et en considérant ensuite que ce 21 représente des cents, unité cent fois plus petite que les dollars. Par la suite, s’ils peuvent trouver que 21¢ est 7% de 3$, ils comprendront plus facilement d’abord que 2,10$ est 7% de 30$. Trouver 7% de 300$ ne cause habituellement pas de problèmes. 
En comparant le 7% de 300$, de 30$ et de 3$ (21$, 2,10$ et 0,21$ ) il sera possible de découvrir le modèle qui permet d’anticiper ce que représente 7% de 0,30$. Cette découverte devrait être effectuée avant d’aborder tout système de calcul du pourcentage. En effet, elle démontre strictement que l’élève comprend le sens du pourcentage, qu’il en possède une idée globale. Le reste suivra plus facilement. 

Fractions 

Pour la page B-15, il est souvent difficile de comprendre ce qui est cherché et ce qui est connu. Un truc, invitez les élèves à tracer un rectangle dans lequel ils placeront ensuite la donnée et la fraction qu’elle représente. Par exemple 45$ et ¼ pour le problème 1a. Il sera ensuite plus facile de comprendre ce que 100% représente et de tracer au besoin 3 autres rectangles valant ¼ du prix ou 45$ chacun. 
Le problème 11 du guide utilise cette stratégie à sa manière avec les pizzas prédécoupées. 
Il conduit souvent à de belles démonstrations par les élèves. 

Jeux de nombres 

N’oubliez pas de permettre à vos élèves de construire les différents rectangles. Établissez avec soins les liens entre ces rectangles et les multiplications et divisions qu’ils évoquent. 

Géométrie 

La réalisation du problème 16 et des pages C-24 et suivantes en parallèle avec les problèmes prévus par la planification du module Jeux de nombres, aidera les élèves à assimiler davantage les unités de mesure métrique. 

Méli-mélo 

Vous continuez les activités qui touchent la lecture et l’interprétation de diagrammes. Rappelons que le module D de Méli-mélo présente la majorité des activités qui développent les savoirs essentiels prévus dans le programme au sujet des statistiques.

Robert et Michel Lyons. 
Prochaine parution : le 16 mars 2008